Image d'un espace métrique par une isométrie
dans Analyse
Bonjour
Je bloque sur un problème simple...
Soit $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels normés (de dimensions infinies) et $A \ \colon X \to Y$ une isométrie non surjective. Je cherche à montrer que l'image de $X$ par $A$ est un fermé.
Je n'arrive à le démontrer que si $X$ est un espace de Banach, en remarquant qu'une suite convergente $(y_n)_n$ de $A(X)$ est de Cauchy dans $Y$, donc que $(x_n)_n = (A^{-1}y_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $X$, et donc converge (car $X$ Banach) vers un point $x$ dont l'image par $A$ coïncide avec la limite de $(y_n)_n$ par continuité de $A$.
Par contre si $X$ n'est pas complet je ne sais pas le démontrer. Pouvez-vous me guider ?
Je bloque sur un problème simple...
Soit $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels normés (de dimensions infinies) et $A \ \colon X \to Y$ une isométrie non surjective. Je cherche à montrer que l'image de $X$ par $A$ est un fermé.
Je n'arrive à le démontrer que si $X$ est un espace de Banach, en remarquant qu'une suite convergente $(y_n)_n$ de $A(X)$ est de Cauchy dans $Y$, donc que $(x_n)_n = (A^{-1}y_n)_n$ est aussi de Cauchy dans $X$, et donc converge (car $X$ Banach) vers un point $x$ dont l'image par $A$ coïncide avec la limite de $(y_n)_n$ par continuité de $A$.
Par contre si $X$ n'est pas complet je ne sais pas le démontrer. Pouvez-vous me guider ?
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Réponses
Du coup l'inverse de $A$ n'est pas forcément continu si $X$ n'est pas un Banach, n'est-ce pas ?
L'inverse d'une isométrie (corestreinte à son image) est évidemment une isométrie donc continue. Ce n'est pas contradictoire avec ce que l'on a dit puisque l'image de $f$ est fermée dans... l'image de $f$. :-D