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Calcul d'aire (intégrale double)

Bonjour à tous
J'ai le problème suivant.

Calculer l’aire du domaine de $\mathbb{R}^2$ délimité à gauche par le cercle de centre $(0; 0)$ et de rayon $2$ et à droite par la parabole d’équation $x = \frac{1}{4}y^2 - 1$.

Je sais qu'il faut calculer $\iint_D dxdy$. Mais je ne sais pas comment modéliser $D$. Quelqu'un peut-il m'aider ?
Merci d'avance pour vos réponses.

Réponses

  • As-tu fait un dessin ? Essayé d'écrire ton domaine comme un demi-disque privé d'une zone qui se décrit plus aisément ?
  • Merci Frédéric Bosio . Avec ce raisonnement , je trouve $D=\big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid -\sqrt{2-y^2}\le x\le \tfrac{1}{4}y^2-1 ,\ -2\le y\le 2\big\}$.
    Mais j'avoue que je ne suis pas rassuré de mon raisonnement. Merci de m'éclairer.
  • $\sqrt{4-y^2}$ sans doute.
  • Bonjour
    Voici les courbes qui délimitent D.

    [Contenu du pdf joint. AD]126444
  • Ah ouiii, le cercle de rayon 2 ! Merci infiniment !
  • P.S Je n'ai pas mis les axes. Voici la figures avec les axes. Bon on ne va pas recalculer l'aire d'un disque car c'est connu.
    Alors tout revient à calculer l'aire de D' partie délimitée par la parabole et le l'axe Oy.
    Le calcul sera alors + simple


    P.S Sauf erreur tu dois trouver $aire(D)=2\pi-8/3$126446
  • Merci bd2017 . C'est bien clair.

    Merci à tous pour vos lumières.
  • Je trouve $\ aire (D)= \dfrac{2\pi +3\sqrt{3}-10}{6}$; en trouvant $D=\big\{ (x,y)\in \mathbb{R}^2\mid -\sqrt{4-y^2}\le x\le \dfrac{1}{4}y^2-1 ,\ -2\le y\le 2\big\}$.
  • Bonsoir
    dans le repère choisi ta parabole a pour équation $y = \pm 2\sqrt{x+1}$
    et donc l'aire recherchée est égale à $2\pi - 4\int_{-1}^0\sqrt{x+1}dx$
    or $4\int_{-1}^0\sqrt{x+1}dx = 4.\frac{2}{3}(x+1)\sqrt{x+1}$ à calculer de -1 à 0 soit 8/3
    et l'aire en question est égale à $2\pi - 8/3$ soit 3,62...
    Cordialement
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