Anneau réduit

Time · September 2021

Bonsoir, si quelqu'un pouvait m'aider, je n'arrive pas à voir si l'anneau suivant est réduit ou non ?
$$\big\{ (\overline{a+kb}, \overline{c+kd}) \in \frac{\Z}{n \Z} \times \frac{\Z}{n \Z} \mid a,b,c,d \in \Z \big\}$$ tels que $n$ et $k$ deux entiers positifs et $0<k<n$.
Merci.

Grenouille factorielle · September 2021

Si $n=4$, je te laisse trouver un élément nilpotent autre que $0$.

Grenouille factorielle · September 2021

En général, il est réduit si et seulement si $n$ n'est pas divisible par le carré d'un nombre premier.

Paul Broussous · September 2021

Est-il clair qu'il s'agit bien d'un anneau ?

Time · September 2021

Grenouille factorielle écrivait http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2296698,2296714#msg-2296714
[Inutile de recopier l'avant-dernier message. Un lien suffit. AD]

Est-ce que ce résultat est connu ?

Grenouille factorielle · September 2021

Paul : puisque cet ensemble est égal à $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^2$ (prendre $b=d=0$), c'est plutot clair qu'il est un anneau.
Time : pas spécialement non, essaye de le montrer.