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Vision platonicienne des mathématiques ?

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Réponses

  • Et de toute façon la phrase que tu as misé entre guillemets avant d'écrire "est une injure",

    Elle existe bien

    Elle est bien célèbre

    C'est bien un théorème de maths

    Et tous les logiciens la comprennent de la même manière et j'ajouterai même que tous les mathématiciens la comprennent de la même manière

    c'est d'ailleurs la raison pour laquelle j'ai entamé cette discussion avec toi puisque tu sembles faire figure d'exception en considérant cette phrase comme disant

    Si pas de preuve standard de non CG pas dentier du tout ni standard ni non standard voire même très infini témoin de non CG

    Qui est fausse et ça tu as raison de le dire mais qui est surtout une interprétation complètement asymétrique et pas la bonne de la phrase célèbre
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Avec notre petit kilo qui sert le plus souvent à équilibrer la marche et dont 150g doivent servir à penser, ça parait quand même difficile d'aller au delà du fait que les mathématiques sont un langage dont la conception a été envisagé pour décrire le monde physique - l'invention de la logique formelle par Aristote avait une autre motivation, et la jonction avec les maths est somme toute assez récente. Dire que le langage est la chose en soi ça parait quand même difficile.
    Foys avait eu une réflexion intéressante sur le fait que l'élaboration des maths montre que tout cela n'est qu'un brouillon permanent.
  • [EDIT : J'avais posté ce message dans un autre fil, mais il semble avoir été incorporé à celui-ci. La première phrase n'a donc plus de sens, alors je la barre.]

    Suite à un post parallèle où une vive discussion a lieu, et en me disant que ledit post risque de fermer et qu'en posant ma question après, je risque de me faire gronder, j'en profite.

    Je ne suis pas au point avec cette affaire de "si Goldbach n'est pas réfutable, alors elle est vraie", alors je voudrais essayer de tout décortiquer.

    1) Goldbach est l'énoncé : $\forall n \in 2\mathbb{N}\cap [3,+\infty[,\ \exists p,q \in \mathcal{P},\quad n = p+q$.

    2) Soit $G(n)$ l'énoncé à une variable libre $n$ suivant : "$\exists p,q \in \mathcal{P},\quad n = p+q$". Alors il y a un algorithme (ici, il est évident !) dont on peut démontrer qu'il termine sur toute entrée, qui prend en argument un entier $n$ et qui, au terme de son exécution, a écrit une démonstration de $G(n)$ ou une démonstration de $\neg G(n)$.

    3) Je pense que pour cette histoire, la conjecture de Golbach peut être remplacée par tout énoncé de la forme $\forall n, \ G(n)$ où $G$ vérifie la propriété mise en exergue dans 2).

    4) Soit donc $G(n)$ un énoncé à une variable libre $n$ tel qu'il existe un algorithme dont on peut démontrer qu'il termine sur toute entrée, qui prend en argument un entier $n$ et qui, au terme de son exécution, a écrit une démonstration de $G(n)$ ou une démonstration de $\neg G(n)$).

    5) Supposons que $\neg (\forall n,\ G(n))$ n'est pas démontrable. Alors, pour tout $n \in \mathbb{N}$, $G(n)$ est démontrable. En effet : soit $n \in \mathbb{N}$. L'algorithme, lancé sur $n$, termine. S'il a écrit une démonstration de $\neg G(n)$, alors on en tire une démonstration de $\exists n, \neg G(n)$, et donc on en tire une démonstration de $\neg (\forall n,\ G(n))$, ce qui entre en contradiction avec l'hypothèse. Et donc, c'est que l'algorithme a écrit une démonstration de $G(n)$.

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    J'ai bon ? Qu'est-ce que c'est que cette histoire de modèles premiers ?
  • Bonjour,
    J'ai bon ? Qu'est-ce que c'est que cette histoire de modèles premiers ?

    Un modèle premier d'une théorie est un modèle qui se plonge élémentairement dans tous les modèles de la théorie ; en particulier, pour les formules $\Pi_1$ (qui ne possèdent qu'une série de quantificateurs universels non bornés, et c'est bien le cas de la Conjecture de Goldbach, puisque les $p$ et $q$ de la formule sont plus petits que le $n$ qui est quantifié universellement), s'il existait un contre exemple dans le modèle premier, il serait présent dans tous les modèles, et donc la formule serait fausse.
  • @Médiat, dans le cadre de l'arithmétique, un (le ?) modèle premier, c'est N, le modèle standard ?
  • @GG : oui c'est ça. Il est clair que $\mathbb{N}$ se plonge élémentairement dans tout modèle de Peano. Et c'est le seul, car si $M \supsetneqq \mathbb{N}$ et si $x \in M$ est non standard tu ne peux pas définir $\varphi(x)$ : il n'y a pas assez de place dans $\mathbb{N}$.
  • OK, merci Martial.
  • Dans le cas présent on peut même être plus précis: le "modèle premier" est L'INTERSECTION de tous les modèles.

    A noter qu'à ma connaissance, l'usage de dire "modèle premier" n'est pas répandue dans le cas très spécifique ici traité , c'est une initiative de Mediat, même si tout le monde avait compris.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • @Christophe : d'accord avec toi. Je n'avais jamais envisagé qu'on puisse parler de "modèle premier" dans ce cadre. Mais au final, la terminologie proposée par Médiat tient la route.
  • De mon téléphone : tout à fait! Modèle premier convient très bien.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Dans cette vidéo (Séminaire de Mathématiques et Philosophie - 22 Janvier 2018), Pierre Cartier discute du sujet "Les mathématiques et leur vision platonicienne" (ainsi que d'autres sujets).

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