Mot "type" dans la théorie des ensembles

Merci Médiat. Si je comprends bien, le mot "type" est à prendre au sens français, sans définition mathématique ? Dès lors, des questions se posent : est-ce qu'un même objet (on comprend plus ou moins ce que cela veut dire : $3$, un point, ...) peut avoir différents types ? est-ce que les types forment une hiérarchie (par exemple, dans le type "entier", il y a les entiers naturels, et les relatifs, ou dans le type droite, il y a les droites vectorielles, affines, projectives, dans un espace de dimension 2, 3 , ..., n, infinie) ? etc...

Il me semble qu'il pourrait être dit une fois pour toutes, qu'on admet en général le consensus sur la signification des mots apportée par la langue française, qui bien sûr se définissent les uns et les autres, quitte à préciser si ambiguïté, et quand on passe dans le domaine mathématiques, les axiomes sont énoncés avec des mots (ou des formules) compréhensibles par notre sens commun sans ambiguïté (toujours le consensus).

Pour moi, les mathématiques sont basées sur le langage. Je ne comprends pas qu'une théorie soit développée sur un mot qui n'est pas défini mathématiquement, au moins par une phrase compréhensible par notre sens commun. Des exemples ne suffisent pas, d'autant plus s'ils sont ambigus.

Ou bien, je n'ai pas la maturité suffisante pour comprendre ce passage, il faut déjà connaître la théorie des ensembles, ou bien la logique si je comprends bien, pour comprendre cette approche, d'abord naïve de la théorie des ensembles, qui ne donne pas satisfaction (dixit l'auteur), alors on passe sur le système de Cantor en utilisant les mêmes mots (type, ensemble d'objets d'un certain type... ?), qui lui non plus ne donne pas satisfaction (à cause du paradoxe de Berry), toujours en utilisant les mêmes mots, pour aboutir à des axiomes qui les utilisent encore.

Le paradoxe, c'est que le paradoxe de Berry montre la nécessité d'une définition mathématique des mots qu'on utilise de la langue française (s'ils sont ambigus ; par exemple le mot "$2$" tout le monde voit ce que cela veut dire), et que ce principe n'est pas appliqué au tout début de cette théorie avec le mot "type", qui lui est plus qu'ambigu dans la langue française !

Une théorie énoncée sans un mot de français doit être illisible. Je plains ceux qui s'amusent à faire cela, ou qui se contraignent ensuite à lire un tel texte.

Pour la théorie des groupes : https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_(mathématiques), heureusement il y a quelques mots ... Maintenant, qu'on puisse le faire sans mot, pourquoi pas, mais bof.

Euclide a utilisé des mots pour énoncer les axiomes d'Euclide. Il me semble qu'un texte mathématique énoncé sans mots est une théorisation sans intérêt.

Par contre, des démonstrations sans un mot, où tout est formalisé dans le moindre détail, cela doit rallonger les textes ?

Bon, je ne peux pas comprendre ce passage sans avoir vu la logique avant. Je laisse tomber.

Mais si j'ai bien compris, on peut prendre des mots issus de la langue française, et avec le vocabulaire, les codes et les formules de la logique (je n'y connais rien), bâtir une théorie où plus un seul mot n'est employé, écrit uniquement dans le formalisme de la logique, donc une théorie qui pourrait n'avoir aucun sens intuitif. Je ne vois pas l'intérêt.

C'est comme si on voulait s'affranchir de notre condition d'être humain, pour essayer de raisonner comme des extra-terrestres. Il me semble que cette tentative est vouée à l'échec. Comment pourrait-on avoir cette certitude qu'on s'est bien affranchi de cette condition ? Par exemple, puisque notre condition d'être humain fait que nous sommes des êtres bornés, comment comprendre l'infini ?

Je m'arrête là, on tombe dans le débat philosophique qui ne m'intéresse pas.

D'accord avec toi pour ton message intermédiaire. Il faut donc un mélange des deux. Mais il me semble qu'au bout du bout, c'est notre raisonnement logique (avec des mots français) qui va l'emporter sur le formalisme mathématique. Mais encore une fois, je dis ça, mais je ne connais rien en logique, la logique et son langage peut permettre de lever directement les ambiguïtés.

Médiat, en maths, tout le problème est de trouver le bon texte au bon moment. Je garde le Dehornoy pour après éventuellement.

Martial, ton chapitre 0, que j'ai lu entièrement est lui au moins, compréhensible et bien fait. Si je peux me permettre, j'y ai relevé une petite lacune (idée que j'avais lue en logique et qui m'a beaucoup aidée), à savoir que quand on écrit une proposition, sans plus de précisions, on suppose qu'elle est vraie ; ou bien, on peut appuyer en précisant : cette proposition (ou cette assertion) est vraie, ou elle est fausse, mais si on ne précise pas en l'écrivant, cela veut dire qu'elle est vraie. Cela parait évident, mais sans cela, on ne comprend pas pourquoi on énonce parfois des propositions sans rien préciser, et parfois on précise leur véracité.