Itération d'une fonction sur quadruplets

Plus généralement, en considérant un n-uplet, montrer qu'on aboutit systématiquement au n-uplet nul si et seulement si n est une puissance de 2.
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Je pars de l'énoncé général ; je soupçonne qu'il puisse y avoir plus simple et plus élégant comme démo, mais j'y suis allé bourrin

On considère l'application $T$ définie sur $\mathbb{Z}^{n}$ par
$T\left(X\right)=T\left(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n-1}\right)=\left(\left|x_{0}-x_{1}\right|,\left|x_{1}-x_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n-1}-x_{0}\right|\right)$.

On note $\left\Vert .\right\Vert $ la norme infinie sur $\mathbb{Z}^{n}$.

1.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{N}}^{n}$, $\left\Vert T\left(X\right)\right\Vert \leq \Vert X \Vert$

2.
Montrer qu'à tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, on peut associer deux entiers $l\left(X\right)\geq0$ et $r\left(X\right)\geq1$ tels que :
$\forall d\in\mathbb{N}^{*}$, $\left\Vert T^{d}\left(X\right)\right\Vert \geq l\left(X\right)$
et $\forall k\geq r\left(X\right)$, $\left\Vert T^{k}\left(X\right)\right\Vert =l\left(X\right)$

3.
On note $K=\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$, et on considère l'endomorphisme $u$ du $K$-espace vectoriel $K^{n}$ défini sur sa base canonique $\left(e_{0},\cdots,e_{n-1}\right)$ par :
$u\left(e_{i}\right)=e_{i+1}$ si $0\leq i\leq n-2$, et $u\left(e_{n-1}\right)=e_{0}$.

Montrer que :
$u^{n}=Id$ ;
Pour tout entier $d\geq0$, $\left(Id+u\right)^{2^{d}}=Id+u^{2^{d}}$ ;
Si $n$ est une puissance de 2, alors $\left(Id+u\right)^{n}=0$.


On suppose désormais que $n$ est une puissance de 2.

4.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, il existe $p\in\mathbb{N}$ et $Z\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$ tels que $T^{p}\left(X\right)=2Z$.

5.
On considère $A=\left\{ X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n},\:\forall k\geq0,\:T^{k}\left(X\right)\neq0\right\} $.
On suppose $A\neq\emptyset$. En considérant le min des $l\left(X\right)$ lorsque $X$ parcourt $A$, et en utilisant 4., arriver à une contradiction.
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