Itération d'une fonction sur quadruplets
Bonjour
(a,b,c,d) est un quadruplet d'entiers relatifs on définit la différence (|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|) ainsi on obtient un nouveau quadruplet et on refait le même schéma ainsi de suite... montrer qu'on aboutit toujours au quadruplet (0,0,0,0) après un certain nombre entier d'opérations...
(a,b,c,d) est un quadruplet d'entiers relatifs on définit la différence (|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|) ainsi on obtient un nouveau quadruplet et on refait le même schéma ainsi de suite... montrer qu'on aboutit toujours au quadruplet (0,0,0,0) après un certain nombre entier d'opérations...
Réponses
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Merci pour cet énoncé !
Cordialement. -
Plus généralement, en considérant un n-uplet, montrer qu'on aboutit systématiquement au n-uplet nul si et seulement si n est une puissance de 2.
. -
Tout mon plaisir !
J'aimerais bien avoir des axes de démonstration -
Je pars de l'énoncé général ; je soupçonne qu'il puisse y avoir plus simple et plus élégant comme démo, mais j'y suis allé bourrin
On considère l'application $T$ définie sur $\mathbb{Z}^{n}$ par
$T\left(X\right)=T\left(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n-1}\right)=\left(\left|x_{0}-x_{1}\right|,\left|x_{1}-x_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n-1}-x_{0}\right|\right)$.
On note $\left\Vert .\right\Vert $ la norme infinie sur $\mathbb{Z}^{n}$.
1.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{N}}^{n}$, $\left\Vert T\left(X\right)\right\Vert \leq \Vert X \Vert$
2.
Montrer qu'à tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, on peut associer deux entiers $l\left(X\right)\geq0$ et $r\left(X\right)\geq1$ tels que :
$\forall d\in\mathbb{N}^{*}$, $\left\Vert T^{d}\left(X\right)\right\Vert \geq l\left(X\right)$
et $\forall k\geq r\left(X\right)$, $\left\Vert T^{k}\left(X\right)\right\Vert =l\left(X\right)$
3.
On note $K=\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$, et on considère l'endomorphisme $u$ du $K$-espace vectoriel $K^{n}$ défini sur sa base canonique $\left(e_{0},\cdots,e_{n-1}\right)$ par :
$u\left(e_{i}\right)=e_{i+1}$ si $0\leq i\leq n-2$, et $u\left(e_{n-1}\right)=e_{0}$.
Montrer que :
$u^{n}=Id$ ;
Pour tout entier $d\geq0$, $\left(Id+u\right)^{2^{d}}=Id+u^{2^{d}}$ ;
Si $n$ est une puissance de 2, alors $\left(Id+u\right)^{n}=0$.
On suppose désormais que $n$ est une puissance de 2.
4.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, il existe $p\in\mathbb{N}$ et $Z\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$ tels que $T^{p}\left(X\right)=2Z$.
5.
On considère $A=\left\{ X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n},\:\forall k\geq0,\:T^{k}\left(X\right)\neq0\right\} $.
On suppose $A\neq\emptyset$. En considérant le min des $l\left(X\right)$ lorsque $X$ parcourt $A$, et en utilisant 4., arriver à une contradiction.
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Bonjour!
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