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Équation d'évolution semi-linéaire

Salut les amis, j'espère que vous allez bien.
Est ce que vous pouvez m'aider à trouver une démonstration détaillée du théorème suivant pris du livre de Barbu (Mathematical methods in optimization of differential equations) page 175, où F est mesurable en t et uniformément Lipschitzienne en x de X.
Merci d'avance.

[Préférer "Joindre un fichier" à donner un pointeur sur le net qui disparaîtra tôt ou tard. :-) AD]126416
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Réponses

  • Bonjour

    Dans la première partie du th, on ne sait pas ce que c'est $X$ (un Banach ?) et $A$ ?

    Dans la deuxième partie cela me semble un peu louche concernant $\delta.$
    Surtout que $\delta$ peut être nul ... quel est l'intérêt de ce $\delta>0$ ?
  • Merci pour votre réponse
    Effectivement, dans la première partie X est un espace de Banach.
    Donc déjà comment on peut montrer que l'équation admet une unique mild solution
    et ensuite comment montrer que c'est une solution forte.
    Je suis vraiment débutant dans ce domaine donc toute clarification est la bienvenue.
    Merci.
  • Bonjour
    Il manque une info sur A (générateur d'un $C_0$ semi groupe? )

    Formellement la solution s'écrit $y(t)=G(t) y_0 + \int _0^t G(t-s) F(s) ds,$
    où $G(t)$ est le semi-groupe engendré par $A$. Sauf erreur c'est ce qu'on appelle "mild solution" pourvu que cette écriture ait un sens.

    Pratiquement la démonstration demande les hypothèses précises et les définitions précises.

    Par exemple dans ton livre $A$ c'est quoi ? et $F \in L^1([0,T];X)$ ?

    D'autre part dans ton livre il devrait avoir la démonstration qui montre que la mild solution est une solution forte.
  • Merci
    A est un générateur d'un C0-semi-groupe qui est autoadjoint et dissipatif donc c'est un générateur d'un semi-groupe analytique.
    F est mesurable en t et unif [large]L[/large]ipschitz en x.

    [Rudolf Lipschitz (1832-1903) prend toujours une majuscule. AD]
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