Itération d'une fonction sur quadruplets
Bonjour
(a,b,c,d) est un quadruplet d'entiers relatifs on définit la différence (|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|) ainsi on obtient un nouveau quadruplet et on refait le même schéma ainsi de suite... montrer qu'on aboutit toujours au quadruplet (0,0,0,0) après un certain nombre entier d'opérations...
(a,b,c,d) est un quadruplet d'entiers relatifs on définit la différence (|a-b|,|b-c|,|c-d|,|d-a|) ainsi on obtient un nouveau quadruplet et on refait le même schéma ainsi de suite... montrer qu'on aboutit toujours au quadruplet (0,0,0,0) après un certain nombre entier d'opérations...
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Réponses
Cordialement.
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J'aimerais bien avoir des axes de démonstration
On considère l'application $T$ définie sur $\mathbb{Z}^{n}$ par
$T\left(X\right)=T\left(x_{0},x_{1},\cdots,x_{n-1}\right)=\left(\left|x_{0}-x_{1}\right|,\left|x_{1}-x_{2}\right|,\cdots,\left|x_{n-1}-x_{0}\right|\right)$.
On note $\left\Vert .\right\Vert $ la norme infinie sur $\mathbb{Z}^{n}$.
1.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{N}}^{n}$, $\left\Vert T\left(X\right)\right\Vert \leq \Vert X \Vert$
2.
Montrer qu'à tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, on peut associer deux entiers $l\left(X\right)\geq0$ et $r\left(X\right)\geq1$ tels que :
$\forall d\in\mathbb{N}^{*}$, $\left\Vert T^{d}\left(X\right)\right\Vert \geq l\left(X\right)$
et $\forall k\geq r\left(X\right)$, $\left\Vert T^{k}\left(X\right)\right\Vert =l\left(X\right)$
3.
On note $K=\frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}$, et on considère l'endomorphisme $u$ du $K$-espace vectoriel $K^{n}$ défini sur sa base canonique $\left(e_{0},\cdots,e_{n-1}\right)$ par :
$u\left(e_{i}\right)=e_{i+1}$ si $0\leq i\leq n-2$, et $u\left(e_{n-1}\right)=e_{0}$.
Montrer que :
$u^{n}=Id$ ;
Pour tout entier $d\geq0$, $\left(Id+u\right)^{2^{d}}=Id+u^{2^{d}}$ ;
Si $n$ est une puissance de 2, alors $\left(Id+u\right)^{n}=0$.
On suppose désormais que $n$ est une puissance de 2.
4.
Montrer que pour tout $X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$, il existe $p\in\mathbb{N}$ et $Z\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n}$ tels que $T^{p}\left(X\right)=2Z$.
5.
On considère $A=\left\{ X\in\mathbb{\mathbb{\mathbb{Z}}}^{n},\:\forall k\geq0,\:T^{k}\left(X\right)\neq0\right\} $.
On suppose $A\neq\emptyset$. En considérant le min des $l\left(X\right)$ lorsque $X$ parcourt $A$, et en utilisant 4., arriver à une contradiction.
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