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Théorème complexe de Descartes

Bonsoir
Je cherche une démonstration du théorème de Descartes complexe concernant quatre cercles dont chacun est tangent aux trois autres.
J’ai une démonstration (Beecroft ? Coxeter ?) pour les courbures des cercles mais pas pour les courbures et les centres.
La formule à démontrer est donc
$$
\sum_{i=1}^{4}(c_i z_i)^2 = \frac 12 \Big(\sum_{i=1}^{4}c_i z_i\Big)^2,

$$ où $c_i$ est la courbure du cercle $\Gamma_i$ de centre d’affixe $z_i$.

Réponses

  • En effet, Coxeter traite cette question, avec les références à Descartes, Beecroft et Soddy, dans son œuvre maîtresse, Introduction to Geometry, John Wiley & Sons, 1961, 1969, pp. 14-16.
    Sir Frederick Soddy, prix Nobel de chimie 1921, en a fait un poème, The Kiss Precise (le baiser précis).
    Bonne nuit.
    Fr. Ch.
  • Bonjour Chaurien
    Les pages citées ne contiennent que la formule concernant les courbures.
    Ce n'est pas ce que je cherche.
    Cordialement.

    [Inutile de reproduire le message précédent. AD]
  • Mon cher Serge13790
    Ou bien cet article que je n'ai malheureusement pas en version électronique:

    Beyond the Descartes Circle Theorem
    Jeffrey C.Lagarias
    Colin L.Mallows
    Allan R.Wilks
    AT&T Labs, Florham Park, NJ07932-0971
    January 8, 2001
    arXiv:math.MG/0101066v1 9 Jan2001

    Amicalement
    [small]p[/small]appus
  • pappus il y est en PDF : c'est sur la colonne de droite sur arxiv
    https://arxiv.org/pdf/math/0101066.pdf

    L'article indiqué par Chaurien aboutit aussi à la formule.
  • Merci Chaurien, cet article me convient parfaitement.
    Cordialement.
  • Cher Papus,

    J'avais déjà l'article que tu proposes et j'avais trouvé qu'il ne répondait pas à ma question. De plus, il y a des points obscurs pour moi. Je détaille :
    1) je ne vois pas la démonstration de la formule mais plutôt des conséquences que l'on peut en tirer.
    2) page 6 formule (2.4)
    Si on fixe $b_4$, on obtient deux solutions $z_4$ et $z'_4$ et on a donc $b_4z_4+b_4z'_4=\ldots$ mais pas $b_4z_4+b'_4z'_4=\ldots$.
    De plus, pour $b_4$ fixé, on obtient deux cercles et aussi deux autres pour $b'_4$, soir deux de trop me semble-t-il, car je ne crois pas qu'ils sont égaux deux à deux.
    Ce point peut-il être éclairci ?
    3) Je n'arrive pas à prouver la formule (2.9).
    Là encore toute explication est bienvenue.

    J'ai survolé la suite et reprendrai la lecture une fois les points précédents résolus.

    Très cordialement.
  • Bonsoir,

    Avec Morley:
    % Théorème complexe de Descartes - Vendredi 6 Août 2021
    
    clc, clear all, close all
    
    syms a b c
    syms aB bB cB % Conjugués
    
    aB=1/a;
    bB=1/b;
    cB=1/c;
    
    syms s1 s2 s3
    syms s1B s2B s3B % Conjugués
    
    s1=a+b+c;
    s2=a*b+b*c+c*a;
    s3=a*b*c;
    
    vdm=(a-b)*(b-c)*(c-a);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    syms u v w real
    
    ap=u*a; % Centres des trois cercles
    bp=v*b;
    cp=w*c;
    
    apB=u*aB;
    bpB=v*bB;
    cpB=w*cB;
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    Ra=1-u; % Rayons des trois cercles
    Rb=1-v;
    Rc=1-w;
    
    dab2=Factor((ap-bp)*(apB-bpB)); % Carrés des distances A'B' ...
    dbc2=Factor((bp-cp)*(bpB-cpB));
    dca2=Factor((cp-ap)*(cpB-apB));
    
    Equv=collect(numden(dab2-(Ra+Rb)^2),[u v]); % On écrit A'B' = Ra + Rb
    
    % On trouve Equv = -(a + b)^2*u*v + 4*a*b*(u + v) - 4*a*b
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    Eqvw=collect(numden(dbc2-(Rb+Rc)^2),[v w]);
    Eqwu=collect(numden(dca2-(Rc+Ra)^2),[w u]);
    
    % On élimine v et w pour obtenir une équation en u
    
    poluv=coeffs(Equv,v,'All');
    
    polvw=coeffs(Eqvw,w,'All');
    polwu=coeffs(Eqwu,w,'All');
    
    Ruv=Factor(Resultant(polvw,polwu));
    puv=coeffs(Ruv,v,'All');
    
    Res=Factor(Resultant(poluv,puv)/(-4*b*c));
    
    Eq=collect(Res,u);
    
    % On trouve:
    
    Eq = ( - a^4 + 2*(b+c)*a^3 - (5*b^2-4*b*c+5*c^2)*a^2 + 2*b*c*(b+c)*a - b^2*c^2)*u^2 + 8*a^2*(b - c)^2*u - 4*a^2*(b - c)^2;
    
    pol=coeffs(Eq,u,'All'); % On a une équation du second degré en u
    
    Delta=Factor(pol(2)^2-4*pol(1)*pol(3));
    
    % On trouve:
    
    Delta = -16*a^2*(a - b)^2*(a - c)^2*(b - c)^2;
    
    Coeffu2=- a^4 + 2*(b+c)*a^3 - (5*b^2-4*b*c+5*c^2)*a^2 + 2*b*c*(b+c)*a - b^2*c^2;
    u1 = 2*(-2*a^2*(b-c)^2 + i*a*vdm)/Coeffu2;
    u2 = 2*(-2*a^2*(b-c)^2 - i*a*vdm)/Coeffu2;
    
    U1(a,b,c)=u1; % Pour avoir v et w par permutation circulaire
    U2(a,b,c)=u2;
    
    v1=U1(b,c,a);
    v2=U2(b,c,a);
    
    w1=U1(c,a,b);
    w2=U2(c,a,b);
    
    %-----------------------------------------------------------------------
    
    % Vérification du théorme de Descartes complexe
    
    Xa=a*u2/(1-u2);
    Xb=b*v2/(1-v2);
    Xc=c*w2/(1-w2);
    
    X=Xa^2+Xb^2+Xc^2;
    Y=(Xa+Xb+Xc)^2;
    
    Nul=Factor(X-Y/2) % Égal à 0 donc c'est gagné
    
    Cordialement,

    Rescassol125550
    TDC.png 60.1K
  • Bonsoir Rescassol,

    Merci pour ce message, mais comment l'utiliser ? Quel est le langage ?

    Cordialement..
  • Bonsoir,

    C'est du Matlab, suffisamment commenté, j'espère.
    Mais je peux répondre à toute question dessus.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    $\omega_2\left(\dfrac{2(s_2^2-3s_1s_3)}{(s_1s_2-9s_3) - 2i\space vdm}\right)$ est le centre radical des trois cercles rouges.
    Quand l'un des trois sommets du triangle $ABC$ décrit le cercle unitaire, son lieu est une conique passant par les deux autres sommets.
    Il en est de même pour l'autre solution correspondant à des cercles extérieurs au cercle unitaire.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonsoir,

    Le triangle des points de contact des trois cercles rouges est en perspective avec le triangle $ABC$.
    Le perspecteur $\Omega_2\left(\dfrac{2(s_2^2 - 3s_1s_3)}{-i\space vdm + (s_1s_2 - 9s_3)}\right)$ est aligné avec $O$ et $\omega_2$ ainsi qu'avec les points analogues obtenus avec des tangences extérieures.
    Ce qui est intéressant, c'est que tous ces points sont alignés sur l'axe de Brocard $(OX_6)$ du triangle $ABC$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    Je trouve que le rayon du cercle radical des trois cercles rouges (passant par leurs points de contact) a pour rayon:
    $\dfrac{vdm}{2\space vdm + i(s_1s_2-s_3)}=\dfrac{4RS}{8S-OH^2+9R^2}$, au signe près.
    où $S$ est l'aire du triangle $ABC$ et $H$ son orthocentre.
    Il n'y a plus de complexes dans cette dernière expression, elle devrait plaire à Poulbot :-D.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour Rescassol et merci
    Cette expression me plaît beaucoup.
    Je présume que tu as fait les calculs avec $R=1$; du coup, le résultat étant donné avec $R$ quelconque n'est pas homogène à une longueur mais peu importe.
    Bien cordialement. Poulbot
  • Bonjour,

    Oui, je n'ai remis $R$ que dans la dernière expression, tous les calculs précédents étant faits avec Morley circonscrit.
    Edit:Ah ben oui, j'avais oublié le numérateur, j'ai corrigé.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Bonjour,

    Voilà une figure un peu plus complète.

    Cordialement,

    rescassol125596
  • Bonjour
    Je sollicite encore l'aide du forum.
    Je ne comprends pas les deux passages suivants de l'article indiqué par Chaurien : http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php/download/8/125504/Northshield_Sam_Complex_Descartes_Circle_Theorem_-_amer.math.monthly.121.10.927.pdf
    Page 929 : By Lemma 2(a), the six spheres have disjoint interiors and any two are tangent to each
    other if and only if their points of tangency to the plane are on the same circle.
    Page 930 :If {i, j,m, n} = {1, 2, 3, 4}, then $S_{i j} = S_{mn}$ ... C'est cette dernière égalité, entainant $k_{ij}=k'_{mn}$, qui donne la clé de la démonstration.

    Qui peux m'expliquer très en détail ces deux passages ? Je joins une figure avec les notations de l'article.
    Merci pour toute aide.
    Cordialement.125756
  • Je me réponds en espérant ne pas trop dire de bêtises. Dans ce cas, je vous remercie d'avance de me corriger.
    Cordialement.

    Il faut corriger la page 929 [de l'article http://www.les-mathematiques.net/phorum/file.php/download/8/125504/Northshield_Sam_Complex_Descartes_Circle_Theorem_-_amer.math.monthly.121.10.927.pdf ] en remplaçant :
    ... any two are tangent to each other if and only if their points of tangency to the plane are on the same circle.
    par :
    ... any two are tangent to each other if and only if their points of tangency to the plane are NOT on the same circle.
    d'où les paires $\{S_{12}, S_{34}\}$, $\{S_{13} S_{24}\}$ et $\{S_{14} S_{23}\}$. Voir l'octaèdre joint.

    D'autre part, j'ai rajouté le commentaire suivant :
    Rappel : A sphere will always be contained in the half-space $C \times [0, +\infty)$ and be tangent to the complex plane.
    Donc deux sphères tangentes ont nécessairement des intérieurs disjoints.
    Rappel : Given any three points $ z_1$, $z_2$, $z_3 \in C$, there are unique numbers $ r_1$, $r_2$, $r_3$ such that the spheres $S(z_i , r_i )$ are mutually tangent.
    On considère donc les trois uniques sphères $S_{12}$, $S_{13}$ et $S_{14}$. Puis on construit les 3 uniques sphères $S''_{12}$, $S''_{13}$ et $S_{23}$. Par le lemme 2(a), $S''_{12} =S_{12}$ et $S''_{13} =S_{13}$. On construit de même $S_{24}$ et $S_{34}$. Il en résulte que la donnée des 6 points $z{i j}$ détermine de manière unique les six sphères en « octahedral arrangement ». En conséquence, l'ensemble des sphères $\{Sij\}$ est égal à l'ensemble des sphères $\{S'ij\}$.
    Comme dit dans le texte : « the respective octahedral arrangements of spheres associated to $\{Ci \}$ and to $\{C'i\ $} are the same ».126086
  • Quelques compléments à propos de cette charmante configuration.
    Les huit plans $\pm x\pm y\pm z = 1$ coupent la sphère $S_2 : x^2+y^2+z^2=1$ en huit cercles qui constituent
    sur cette sphère deux configurations "Kiss précise" orthogonales.

    On obtient n'importe quel double-kiss plan en appliquant à $S_2$ une rotation fixant le centre, puis une projection stéréographique.

    Le calcul concrétisant cette vision donne les courbures $r\pm a\pm b\pm c$ de ces huit cercles projetés.
    $r$ vaut $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$ .

    Exemple : $(a,b,c) = (9,6,2)$ , $r=\sqrt{81+36+4}=11$
    Courbures: $(28,12,6,-2)$ pour l'un des kiss, $(-6,10,16,24)$ pour l'autre.
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