Un exemple trivial de démonstration foireuse de "Un ensemble $A$ voisinage de tous ses points est un ouvert".
Par définition du voisinage, tout point x de $A$ appartient à un ouvert contenu dans $A$. Notons-le $O_{x}$. On a alors immédiatement que $A$, qui coïncide avec la réunion des $O_{x}$, est un ouvert.
Il faut évidemment définir $O_{x}$ comme réunion des ouverts contenant $x$ et inclus dans $A$.
Réponses
Par définition du voisinage, tout point x de $A$ appartient à un ouvert contenu dans $A$. Notons-le $O_{x}$. On a alors immédiatement que $A$, qui coïncide avec la réunion des $O_{x}$, est un ouvert.
Il faut évidemment définir $O_{x}$ comme réunion des ouverts contenant $x$ et inclus dans $A$.