Rectangle ou pas !

Bouzar · September 2021

Bonjour,

Je propose cet exercice.

Soit $ABC$ un triangle.

Montrer que :

$a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}\Longleftrightarrow 90^{\circ}\in\{\hat{A},\hat{B},\hat{C}\}\ .$

Amicalement

Rescassol · September 2021

Bonjour,

Le code:

syms a b c real

p=(a+b+c)/2;
R2=(a*b*c)^2/(16*p*(p-a)*(p-b)*(p-c));

Nul=numden(Factor(a^2+b^2+c^2-8*R2))

donne comme résultat:

(- a^2 + b^2 + c^2)*(a^2 - b^2 + c^2)*(a^2 + b^2 - c^2)

puis Pythagore.

Cordialement,

Rescassol

pappus · September 2021

Merci Rescassol
Ou bien à la Lalesco:
article 13.14, page 103
$$\sin^2(A)+\sin^2(B)+\sin^2(C)=2(1+\cos(A)\cos(B)\cos(C))\qquad$$
On multiplie le fourbi par $4R^2\ $ pour obtenir:
$$a^2+b^2+c^2=8R^2(1+\cos(A)\cos(B)\cos(C))\qquad$$
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · September 2021

Bonjour,

Si $a^{2}+b^{2}+c^{2}=8R^{2}$ alors la 84ème formule des 273 : $OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$ nous donne $OH =R$, ce qui implique que le triangle $ABC$ est rectangle. La réciproque est claire.

djelloul sebaa · September 2021

Bonjour

a2+b2+c2=8R2 si et seulement si : a = 2.R ou bien b = 2.R ou bien c = 2.R.

Bien cordialement.
Djelloul Sebaa

Bouzar · September 2021

Bonsoir à tous et merci de vos contributions.

Djelloul, peux-tu détailler pour nos lecteurs, merci.

Cordialement.

djelloul sebaa · September 2021

Bonjour.

a2+b2+c2=8R2 ( par hypothese ).....................................( 1 )

On peut envisager trois cas :
1) cas : a^2 = b^2 + c^2 ................................................ ( 2 )
de ( 1 ) et (2) on tire : a = 2.R
2) cas b^2 = a^2 + c^2 ....................................................( 3 )
de ( 1 ) et ( 3 ) on tire b = 2.R.
3) cas : c^2 = b^2 + a^2 ...................................................( 4 )
de ( 1 ) et ( 4 ) on tire c = 2.R.

Bien Cordialement.
Djelloul Sebaa