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Endomorphisme de l'espace des matrices

Bonjour à tous,

Je me pose la question suivante. Soit $\mathcal M_n(\mathbb R)$ l'espace vectoriel réel des matrices carrées de dimension $n$. Considérons l'endomorphisme $\varphi_t$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ qui une matrice $A$ associe la matrice
$$
A + (t-1) \Delta_A,$$ où $\Delta_A$ est la matrice dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale qui sont égaux à la diagonale de $A$.

Peut-on écrire $\varphi_t(A) = M_1(t) A M_2(t)$ où $M_1,M_2 \in \mathcal M_n(\mathbb R)$ ?
Plus généralement, a-t-on moyen de caractériser les endomorphismes de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ qui s'écrivent $A \mapsto M_1 A M_2$ ?

Réponses

  • Pour la première question, la réponse est non, car les contraintes sont assez fortes (je suppose $t\neq 0$, $t\neq 1$ et je l'omets dans les matrices).
    • Sur l'identité $\varphi_{t}(I_{n})=M_{1}M_{2}=tI_{n}$, on voit déjà que $M_{1}$ et $M_{2}$ sont inversibles et $M_{1}^{-1}=\frac{1}{t}M_{2}$.
    • Comme $\varphi_{t}(M_{2})=tM_{2}$ (et de même pour $M_{1}$), les deux matrices sont diagonales (les coefficients extra-diagonaux étant inchangés par hypothèse) et $m_{1}(ii)m_{2}(ii)=t$.
    • Enfin, $\varphi_{t}(A)_{ij}=m_{1}(ii)a_{ij}m_{2}(jj)$ entraîne la condition $m_{1}(ii)m_{2}(jj)=1$ si $i\neq j$, ce qui impose $m_{1}(ii)=\frac{t}{m_{2}(ii)}=tm_{1}(jj)=...=t^{2k}m_{1}(ii)$. C'est impossible à moins d'avoir tous les coefficients nuls, ce qui est exclu.
    Le cas $t=0$ peut se traiter exactement de la même façon: $M_{1}M_{2}=0$ puis $\varphi_{0}(M_{2})=0=\varphi_{0}(M_{1})$ donc les matrices sont diagonales et enfin contradiction avec $m_{1}(ii)=0$.
    Le cas $t=1$ n'est pas intéressant et fonctionne pour tous les couples $(\lambda I_{n}, \lambda^{-1} I_{n})$.

    Je ne sais pas caractériser ces applications linéaires en général, mais on peut toujours essayer de mieux les connaître sur des matrices simples (diagonales, diagonalisables, trigonalisables) et passer par densité (car le produit est continu).

    Y a t-il des raisons de chercher la première fonction sous cette forme ?
  • Pour le noyau de cet endomorphisme, si $M_1$ et $M_2$ sont inversibles le noyau est le fermé d'équation $\det(A)=0$. Si $M_1$ ou $M_2$ ne sont pas inversibles elles sont limites de matrices inversibles : c'est le même noyau, le fermé d'équation $\det(A)=0$ par continuité.
    Pour l'image ou les valeurs propres de l'endomorphisme je ne sais rien en dire, si ce n'est que dans le livre de Gantmacher de titre "Théorie des matrices" (il existe une réédition récente), Gantmacher sait résoudre l'équation d'inconnue $X$, $AX-XB=C$, avec $A,B,C$ matrices d'ordres $n$. On peut tenter de s'inspirer de sa méthode pour résoudre $AX-XB=\lambda X$ pour le cas où $M_1$ et $M_2$ sont inversibles mais c'est sans garantie.
  • Une autre suggestion : en transformant la matrice $X$ en un vecteur colonne d'ordre $n^2$ soit $Y$, l'équation $AX-XB=\lambda X$ devient $CY=\lambda Y$ où $C$ est une matrice d'ordre $n^2$ qui dépend de $M_1$ et $M_2$. L'équation aux valeurs propres devient l'équation aux valeurs propres de $C$. Pour le calcul des coefficients de $C$, et bien, je n'ai pas la patience d'essayer. Même méthode pour obtenir l'image de l'application $A\mapsto M_1 A M_2$
  • Merci à vous pour ces réponses!
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