Le coin des olympiades
Bonjour
Je propose cet exercice.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=AC$, $(I)$ son cercle inscrit, $\Gamma$ son cercle circonscrit.
Les droites $(BI)$ et $(CI)$ intersectent $\Gamma$ de nouveau en $M$ et $N$ respectivement.
Soit $D$ un autre point sur $\Gamma$, situé sur l’arc $\overset{\frown}{BC}$ ne contenant pas $A.$
Soient $E$ et $F$ les intersections de $(AD)$ avec $(BI)$ et $(CI)$ respectivement.
Enfin, soient $P$ et $Q$ les intersections de $(DM)$ avec $(CI)$ puis $(DN)$ avec $(BI),$ respectivement.
1) Démontrer que les points $D, I, P, Q$ se situent sur un même cercle $\Gamma'$.
2) Démontrer que les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont sécantes en un point situé sur le cercle $\Gamma'$.
Amicalement.
Je propose cet exercice.
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=AC$, $(I)$ son cercle inscrit, $\Gamma$ son cercle circonscrit.
Les droites $(BI)$ et $(CI)$ intersectent $\Gamma$ de nouveau en $M$ et $N$ respectivement.
Soit $D$ un autre point sur $\Gamma$, situé sur l’arc $\overset{\frown}{BC}$ ne contenant pas $A.$
Soient $E$ et $F$ les intersections de $(AD)$ avec $(BI)$ et $(CI)$ respectivement.
Enfin, soient $P$ et $Q$ les intersections de $(DM)$ avec $(CI)$ puis $(DN)$ avec $(BI),$ respectivement.
1) Démontrer que les points $D, I, P, Q$ se situent sur un même cercle $\Gamma'$.
2) Démontrer que les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont sécantes en un point situé sur le cercle $\Gamma'$.
Amicalement.
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Réponses
merci pour ce joli problème...
La question 1 est simple par une chasse angulaire
Pour la question 2, c'est moins évident...
Sincèrement
Jean-Louis
Voilà une solution avec Morley inscrit.
Il est à remarquer que le résultat de la question $1$ est vrai même si le triangle $ABC$ n'est pas isocèle. Cordialement,
Rescassol
Quand $D$ décrit le cercle circonscrit au triangle $ABC$, le lieu du centre $R$ de $\Gamma'$ est une droite, qui est parallèle à $(BC)$ quand $ABC$ est isocèle en $A$.
Son équation est alors $(u+v)^2z + u^2(u+v)^2\overline{z} = 2u^2v$
Le point $\Omega$ décrit une conique, qui est le cercle circonscrit au triangle $BCI$ quand $ABC$ est isocèle en $A$.
Son équation est alors $(u+v)^2z\overline{z} - 2vz - 2u^2v\overline{z} = 0$
Cordialement,
Rescassol
Bref, que $ABC$ soit isocèle ou non, quand $D$ varie sur $\Gamma $ , le deuxième point d'intersection de $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ est fixe.
Bien cordialement. Poulbot
Oui, ce deuxième point fixe est $\dfrac{2s_3}{(u+v)(u+w)}$.
Cordialement,
Rescassol
Merci Rescassol pour ta contribution.
Amicalement
Si ABC est A-isocèle alors le second point d'intersection du cercle demandé est le milieu de l'arc BC ne contenant pas A.
Pour la deuxième question, j'ai une piste que je dois rédiger....
Sincèrement
Jean-Louis
avez-vous une référence pour ce problème?
Sincèrement
Jean-Louis
Oui, Jean-Louis, ce qui ne dépend pas de $D$ possède la droite $(AI)$ comme axe de symétrie.
Cordialement,
Rescassol
J'ai fait la figure de la première question en supposant le triangle $ABC$ quelconque.
J'ai tracé le point $\Omega\ $ de Poulbot.
Les points $P\ $ et $Q\ $ sont en correspondance affine sur les droites $CI\ $ et $BI\ $.
Autrefois on aurait dit (voir le Lebossé-Hémery) qu'ils décrivaient des divisions semblables..
Quel est le graphe de cette correspondance?
Quelle similitude directe permet de passer du point $P\ $ au point $Q?\qquad$
Amicalement
[small]p[/small]appus
PS
Le point $D\ $ décrit tout le cercle!!!!!
Pourquoi vouloir le confiner?
Atavisme sans doute?