Le coin des olympiades — Les-mathematiques.net The most powerful custom community solution in the world

Le coin des olympiades

BouzarBouzar
dans Géométrie
Bonjour
Je propose cet exercice.

Soit $ABC$ un triangle tel que $AB=AC$, $(I)$ son cercle inscrit, $\Gamma$ son cercle circonscrit.
Les droites $(BI)$ et $(CI)$ intersectent $\Gamma$ de nouveau en $M$ et $N$ respectivement.
Soit $D$ un autre point sur $\Gamma$, situé sur l’arc $\overset{\frown}{BC}$ ne contenant pas $A.$
Soient $E$ et $F$ les intersections de $(AD)$ avec $(BI)$ et $(CI)$ respectivement.
Enfin, soient $P$ et $Q$ les intersections de $(DM)$ avec $(CI)$ puis $(DN)$ avec $(BI),$ respectivement.

1) Démontrer que les points $D, I, P, Q$ se situent sur un même cercle $\Gamma'$.

2) Démontrer que les droites $(CE)$ et $(BF)$ sont sécantes en un point situé sur le cercle $\Gamma'$.

Amicalement.126404

Réponses

  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour Bouzar et à tous,

    merci pour ce joli problème...
    La question 1 est simple par une chasse angulaire

    Pour la question 2, c'est moins évident...

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Voilà une solution avec Morley inscrit.
    Il est à remarquer que le résultat de la question $1$ est vrai même si le triangle $ABC$ n'est pas isocèle. 
    % Bouzar - 01 Septembre 2021 - Le coin des olympiades

clc, clear all, close all

% On part du triangle de contact UVW

syms u v w
syms uB vB wB % Conjugués

uB=1/u; % Morley's trick avec le cercle inscrit
vB=1/v;
wB=1/w;

syms s1 s2 s3;
syms s1B s2B s3B; % Conjugués

s1=u+v+w;         % Fonctions symétriques
s2=u*v+v*w+w*u;
s3=u*v*w;

s1B=s2/s3;         % Conjugués
s2B=s1/s3;
s3B=1/s3;

%-----------------------------------------------------------------------

a=2*v*w/(v+w); % Sommets ABC du triangle 
b=2*w*u/(w+u); 
c=2*u*v/(u+v);

aB=2*vB*wB/(vB+wB); % Conjugués
bB=2*wB*uB/(wB+uB);
cB=2*uB*vB/(uB+vB);

%-----------------------------------------------------------------------

% Centre O et rayon R du rayon du cercle circonscrit au triangle ABC

o=2*s1*s3/(s1*s2-s3);
oB=2*s1B*s3B/(s1B*s2B-s3B);
R=2/(1-s1*s1B);

%-----------------------------------------------------------------------

% Point M où (BI) recoupe (ABC)

syms m

mB=m*bB/b; % M sur (BI)

NulM=numden(Factor((m-o)*(mB-oB)-R^2));

% On trouve m*v^2 + m*u*v + m*u*w + m*v*w - 2*u*v*w = 0 donc:

m = 2*s3/((u+v)*(v+w));
mB = 2*s3B/((uB+vB)*(vB+wB));

% De même:

n = 2*s3/((u+w)*(w+v));
nB = 2*s3B/((uB+wB)*(wB+vB));

%-----------------------------------------------------------------------

syms t % Un vecteur unitaire

tB=1/t;

d=o+R*t;  % Un point quelconque du cercle (ABC)
dB=oB+R*tB;

[pad qad rad]=DroiteDeuxPoints(a,d,aB,dB); % Droite (AD)

% Point d'intersection E des droites (AD) et (BI)

[e eB]=IntersectionDeuxDroites(pad,qad,rad,bB,-b,0);

e=Factor(e);

% On trouve:

e=2*s3*(t-u)/((v+w)*(t*v-u^2));
eB=2*s3B*(tB-uB)/((vB+wB)*(tB*vB-uB^2));

% De même:

f=2*s3*(t-u)/((w+v)*(t*w-u^2));
fB=2*s3B*(tB-uB)/((wB+vB)*(tB*wB-uB^2));

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection P des droites (DM) et (CI)

[pdm qdm rdm]=DroiteDeuxPoints(d,m,dB,mB); % Droite (DM)

[p pB]=IntersectionDeuxDroites(pdm,qdm,rdm,cB,-c,0);

p=Factor(p);

% On trouve:

p=2*u*v*(t*v+u*w)/((t+u)*(u+v)*(v+w));
pB=2*uB*vB*(tB*vB+uB*wB)/((tB+uB)*(uB+vB)*(vB+wB));

% De même:

q=2*u*w*(t*w+u*v)/((t+u)*(u+w)*(w+v));
qB=2*uB*wB*(tB*wB+uB*vB)/((tB+uB)*(uB+wB)*(wB+vB));

%-----------------------------------------------------------------------

% D,I,P,Q sont cocycliques

Bi=Birapport(d,0,p,q);
BiB=Birapport(dB,0,pB,qB);

NulDIPQ=Factor(Bi-BiB) 
% Égal à 0, même si ABC n'est pas isocèle !!! Donc c'est gagné.

%-----------------------------------------------------------------------

% Point d'intersection Omega des droites (CE) et (BF)

[pce qce rce]=DroiteDeuxPoints(c,e,cB,eB); % Droite (CE)
[pbf qbf rbf]=DroiteDeuxPoints(b,f,bB,fB); % Droite (BF)

[Omega OmegaB]=IntersectionDeuxDroites(pce,qce,rce,pbf,qbf,rbf);

Omega=Factor(Omega)

% On trouve:

NumOmega = 2*s3*(t-u)*((u*(v+w)-v^2-w^2)*t + u*(u*(v+w)-2*v*w));
DenOmega = v*w*(u^2+u*(v+w)-(v^2+w^2+v*w))*t^2 - u*(2*v*w*u^2-(v+w)*(v^2+w^2)*u+2*v^2*w^2)*t - u^2*((v^2+v*w+w^2)*u^2-v*w*(v+w)*u-v^2*w^2);

Omega=NumOmega/DenOmega;

% Omega est sur le cercle D,I,P,Q

Bi=Birapport(d,0,p,Omega);
BiB=Birapport(dB,0,pB,OmegaB);

NulDIPOmega=Factor(Bi-BiB) 

% On trouve une expression contenant le facteur (- u^2 + v*w)
% qui est nul si le triangle ABC est A-isocèle, d'où le résultat.
    Cordialement,

    Rescassol
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Quand $D$ décrit le cercle circonscrit au triangle $ABC$, le lieu du centre $R$ de $\Gamma'$ est une droite, qui est parallèle à $(BC)$ quand $ABC$ est isocèle en $A$.
    Son équation est alors $(u+v)^2z + u^2(u+v)^2\overline{z} = 2u^2v$
    Le point $\Omega$ décrit une conique, qui est le cercle circonscrit au triangle $BCI$ quand $ABC$ est isocèle en $A$.
    Son équation est alors $(u+v)^2z\overline{z} - 2vz - 2u^2v\overline{z} = 0$

    Cordialement,

    Rescassol
  • poulbotpoulbot
    Bonjour Rescassol
    Bref, que $ABC$ soit isocèle ou non, quand $D$ varie sur $\Gamma $ , le deuxième point d'intersection de $\Gamma $ et $\Gamma ^{\prime }$ est fixe.
    Bien cordialement. Poulbot
  • RescassolRescassol
    Bonsoir Poulbot,

    Oui, ce deuxième point fixe est $\dfrac{2s_3}{(u+v)(u+w)}$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • BouzarBouzar
    Bonsoir Rescassol, poulbot et Jean-Louis,

    Merci Rescassol pour ta contribution.

    Amicalement
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour,
    Si ABC est A-isocèle alors le second point d'intersection du cercle demandé est le milieu de l'arc BC ne contenant pas A.
    Pour la deuxième question, j'ai une piste que je dois rédiger....

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • Jean-Louis AymeJean-Louis Ayme
    Bonjour Bouzar,
    avez-vous une référence pour ce problème?

    Sincèrement
    Jean-Louis
  • RescassolRescassol
    Bonjour,

    Oui, Jean-Louis, ce qui ne dépend pas de $D$ possède la droite $(AI)$ comme axe de symétrie.

    Cordialement,

    Rescassol
  • pappuspappus
    Bonjour à tous
    J'ai fait la figure de la première question en supposant le triangle $ABC$ quelconque.
    J'ai tracé le point $\Omega\ $ de Poulbot.
    Les points $P\ $ et $Q\ $ sont en correspondance affine sur les droites $CI\ $ et $BI\ $.
    Autrefois on aurait dit (voir le Lebossé-Hémery) qu'ils décrivaient des divisions semblables..
    Quel est le graphe de cette correspondance?
    Quelle similitude directe permet de passer du point $P\ $ au point $Q?\qquad$
    Amicalement
    [small]p[/small]appus
    PS
    Le point $D\ $ décrit tout le cercle!!!!!
    Pourquoi vouloir le confiner?
    Atavisme sans doute?126422
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Success message!