Égalité presque partout
Salut
Soit $\Omega$ un domaine borné avec un frontière lipchitzienne $\Gamma=\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}$.
$$V=\{u\in \big(H^1(\Omega)\big)^d \mid u=0 \text{ dans }\Gamma_{1} \}.
$$ Est-ce que cette implication est vraie ?
$$ \forall v\in V,\ \langle u,v\rangle_{V}=0\ \implies\ u=0\ p.p $$
Soit $\Omega$ un domaine borné avec un frontière lipchitzienne $\Gamma=\Gamma_{1} \cup \Gamma_{2}$.
$$V=\{u\in \big(H^1(\Omega)\big)^d \mid u=0 \text{ dans }\Gamma_{1} \}.
$$ Est-ce que cette implication est vraie ?
$$ \forall v\in V,\ \langle u,v\rangle_{V}=0\ \implies\ u=0\ p.p $$
Réponses
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Qu'est-ce que $<\cdot,\cdot>_V$ ? un produit scalaire ?
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Oui..c'est un produit scalaire.
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La réponse est presque tautologique si tu sais que $\langle \cdot, \cdot \rangle_V$ est un produit scalaire sur $V$. J'imagine qu'il s'agit de la restriction du produit scalaire de $H^1(\Omega)^d$ à $V$.
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En gros, s'il s'agit de savoir si les fonctions qui s'annulent sur la frontière sont denses dans $H^1 $, il me semble que c'est faux, déjà si $\Omega $ est un intervalle de $\mathbb R $. Après, pour $d$ plus grand, il faut voir, mais c'est probablement faux aussi.
-
$u$ est-il lui-même dans $V$ ? Le produit scalaire n'est-il qu'un produit scalaire sur $V$ ?
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Bonjour!
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