Somme des distances aux cotés d'un triangle
Bonjour
Je cherche à minimiser la somme des distances d'un point intérieur à un triangle aux coté de ce triangle
Je sais le faire si il est équilatéral (la somme est constante), si il est isocéle (base ou sommet suivant les dimensions) grace à des preuves géométriques (on cosidère l'aire de trois triangles qui décomposent notre grand triangle)
Je cherche maintenant si il est rectangle
J'ai trouvé par des méthodes analytiques que c'est le sommet en lequel il est rectangle mais je voudrais une preuve géométrique
Pourriez vous m'en indiquer une
Merci
Je cherche à minimiser la somme des distances d'un point intérieur à un triangle aux coté de ce triangle
Je sais le faire si il est équilatéral (la somme est constante), si il est isocéle (base ou sommet suivant les dimensions) grace à des preuves géométriques (on cosidère l'aire de trois triangles qui décomposent notre grand triangle)
Je cherche maintenant si il est rectangle
J'ai trouvé par des méthodes analytiques que c'est le sommet en lequel il est rectangle mais je voudrais une preuve géométrique
Pourriez vous m'en indiquer une
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Réponses
L'application $f$ qui à un point intérieur associe la somme des distances aux côtés est une application affine. Elle atteint donc son maximum en l'un des points extrémaux, c'est-à-dire en l'un des sommets.
Si $ABC$ est rectangle en $A$ avec $a>b>c$, alors $f(B)=c$, $f(C)=b$, $f(A)=bc/a<c<b$, d'où on tire que si $M=xA+yB+zC$ alors $f(M)=xbc/a+yc+zb\ge f(A)$ avec égalité si et seulement si $M=A$.
Si $a=b>c$ alors $f$ atteint son minimum quand $M$ est sur $[A,B]$.
Si $a=b=c$ alors $f$ est constante.
je me permets de demander une toute petite précision: pourriez vous détailler un poil le "on voit facilement "
Même raisonnement lorsque $M$ se déplace de $D$ vers $A$.
Auriez vous une démonstration de ce résultat http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,721615,721648#msg-721648 ?
Merci.
Donc $h_1\frac{a}{c}+h_2\frac{b}{c}+h_3=H$ et $h_1+h_2\frac{b}{a}+h_3\frac{c}{a}=h.$
D'ou le minimum $h$ et maximum $H$ de la somme des projections $h_1,h_2,h_3$.
Cordialement.