Intégrale dépendant d’un paramètre
Bonjour à tous
Je fais face à un problème de dérivabilité pour une fonction définie à l'aide d'une intégrale. J'ai besoin de votre aide.
Soit $a\in\, ]{-}1, 1[$. On pose $\quad\displaystyle F(a)= \int_0^{\pi/2} \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}dx.$
Montrer que $F$ est dérivable sur $]{-}1, 1[$, et exprimer $F^{\prime}$ sous forme intégrale.
Voulant utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale, je pose $f(a,x)= \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}$. On a
$$\dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)= \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}.
$$ Maintenant je dois majorer $\Big\vert \dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)\Big\vert = \Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert\ $ par une fonction $\varphi(x)$ positive, continue par morceaux et intégrable sur $]0, \pi/2[.$ Le problème est que je ne sais pas comment obtenir une telle majoration.
Merci d'avance pour vos réponses.
Je fais face à un problème de dérivabilité pour une fonction définie à l'aide d'une intégrale. J'ai besoin de votre aide.
Soit $a\in\, ]{-}1, 1[$. On pose $\quad\displaystyle F(a)= \int_0^{\pi/2} \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}dx.$
Montrer que $F$ est dérivable sur $]{-}1, 1[$, et exprimer $F^{\prime}$ sous forme intégrale.
Voulant utiliser le théorème de dérivation sous le signe intégrale, je pose $f(a,x)= \dfrac{\ln(1+a\cos(x))}{\cos(x)}$. On a
$$\dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)= \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}.
$$ Maintenant je dois majorer $\Big\vert \dfrac{\partial f}{\partial a} (a,x)\Big\vert = \Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert\ $ par une fonction $\varphi(x)$ positive, continue par morceaux et intégrable sur $]0, \pi/2[.$ Le problème est que je ne sais pas comment obtenir une telle majoration.
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Réponses
Donc $\Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert \leqslant \dfrac{1}{ 1-|a|}$.
Je répare :
Soit $\varepsilon>0$. Pour $a\in\, ]-1+\varepsilon, 1-\varepsilon[$ on a $\Big\vert \dfrac{1}{ 1+a\cos(x)}\Big\vert \leqslant \dfrac{1}{ 1-|1-\varepsilon||\cos(x)|}$ et cette dernière expression est intégrable sur $[0,\pi/2]$.
Ceci permet d'appliquer le théorème de dérivation sous l'intégrale et de montrer que $F$ est dérivable sur $]-1+\varepsilon, 1-\varepsilon[$ pour tout $\varepsilon>0$. Donc finalement que $F$ est dérivable sur $]-1,1[$.
La fonction est continue sur l'intervalle!
Peut-on restreindre l'étude à $a\geq 0$ par la relation $F(a) = F(-a^2) - F(-a)$ ?
Le calcul serait simplifier par la majoration $1 + a \cos x \geq 1$ pour tout $x \in ]0, \pi/2[$ et pour tout $a \in [0, 1[.$
Pardon, erreur de calcul.
En effet pour $|a| \leq 1-\epsilon$ on a
$\forall x\in [0,\pi /2], \dfrac{1}{|1+a \cos(x)|} \leq \dfrac{1}{1- |a \cos (x)|} \leq \dfrac{1}{1- |a |} \leq \dfrac{1}{\epsilon}$
la première inégalité vient de l'inégalité triangulaire et la fonction majorante est ici une constante donc intégrable.
P.S Et même pourquoi se fatiguer? la fonction $g(x,a)=\dfrac{1}{1+a \cos(x)}$ est continue sur le compact $[-1+\epsilon,1-\epsilon]\times[ 0, \pi/2]$ donc elle est bornée et ça suffit.
il est possible d'expliciter l'intégrale paramétrée fonction de a réel encadré par - 1 et 1 :
tu pars de l'intégrale trigonométrique définie, continue pour - 1 < a < 1
$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{dx}{1+acosx} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{1-a^2}}Arcsin(a)$
déterminée par changement de variable cos(x) = (1 - t²)/(1 + t²) avec t = tan(x/2)
l'intégration par rapport à a, ne pose pas de problème (et la constante d'intégration est nulle) soit :
$$F(a) = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{ln(1+acosx)}{cosx}dx = \frac{\pi}{2}a + \frac{1}{2}(Arcsin(a))^2$$
F(a) est définie continue pour - 1 < a < 1 et dérivable sur le même intervalle de a
Cordialement