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Puissance de 10

Bonjour

On remarque que $ 52! $ est proche de $10^{68}$

Parmi toutes les factorielles, quelle est la plus proche d'une puissance de 10 ?

Justifier

Merci

Réponses

  • Proche ?
    J’ai une mauvaise calculatrice qui me donne environ $8,06 \times 10^{67}$.
    Mais est-ce « proche » de $10^{68}$ ?
  • Bonsoir,

    proche c'est vaste non?

    $52!=80658175170943878571660636856403766975289505440883277824000000000000$ et
    $10^{68}=10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000$.

    la calculatrice donne:
    $|10^{68}-52!|=19341824829056121428339363143596233024710494559116722176000000000000$

    Si on parle de distances interstellaire en m oui c'est proche.
  • exponentiellement parlant oui c'est proche
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Allez question:

    On défini pour tout $n\in\N: u_{n}=|10^n-n!|$. Donner un équivalent de $u_{n}$ lorsque $n\longrightarrow+\infty$
  • $\displaystyle \frac{\log(10^{68})}{\log(52!)}=1.00137470498...$

    (message en même temps :)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • $1!$ est proche d'une puissance de $10$.
  • Quentino37:C'est bien ce que je voulais dire: c'est quoi proche?
  • Amédé $\displaystyle \sqrt{2 \pi n}\Big(\frac{n}{e}\Big)^n$
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Amédé : je dirais que c'est équivalent à $n!$.
  • Grenouille factorielle essaye de mettre $\pi$ le plus souvent possible exemple $1=1-\pi+\pi$
    (c'est du $ax^2+bx+c$)
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • N'empêche que cette notion de "proche" est vaste.
  • oui... on pourrait essayer de trouver une définition rigoureuse ça pourrait être intéressant?
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Merci pour ce challenge des plus épanouissants Quentino$[\pi]*10+\left[(\sqrt{\pi}-1)*10\right]$
  • Est-ce qu’en enlevant les zéros à droite de $n!$ on obtient un entier « regardable ».
    Je donne des exemples :
    69998899 est « regardable »
    6174193618 n’est pas « regardable ».
    Je n’ai pas de définition…

    Ensuite, avec le même procéder (retirer les zéros de $n!$) on obtient un entier du genre 999999…. ou 98999…. ? C’est à dire un truc qui se rapproche (on y revient !) d’une puissance de $10$.
    Je suis dans le on ne peut plus vague, évidemment…

    Tiens une idée :
    D’ailleurs, peut-on isoler les $n!$ dont le premier chiffre est 9 ?
    Sont-ils en nombre infini ?
    Puis ceux dont les deux premiers chiffres sont 99 ? Dénombrables ?
    Etc.
  • Ça serait intéressant en effet. Il y a tellement d'acception pour proche: o, O, $\sim$... Il faudrait faire de la physique car ils ont une bonne notion de la notion de proche suivant l'échelle.
  • Conjecture à réfuter ou démontrer(Pablo tu pourra m'aider?): Pour tout $\epsilon$ positif et pour tout a strictement supérieur à 1, On trouvera des entiers n et x tel que tel que $x-\epsilon<Log_{a} (n!)<x+\epsilon$
    La patience est un plat qui se mange sans sauce.
  • Dom: pour moi proche pour deux nombres c'est quand $|a-b|<1$ ou $\left|\dfrac{a}{b}\right|\in[0.8;1]$.
  • Une question véritablement intéressante serait plutôt d'étudier $n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}$.
  • Prenons un nombre comme 2800.
    Je ne sais pas combien vaut 2800! , est-ce que le premier chiffre est un 2 , un 3 ... ?
    Mais je sais que parmi les 20 nombres suivants (2801! ... 2820!), il y en a au moins 1 qui commence par un 8 ou un 9.

    Il y a d'ailleurs un résultat,connu, qui donne la proportion de nombres commençant par 1, par 2 ... par 9 dans toute série '''statistique'''. Je connais la nature de ce résultat, mais je ne me souviens plus du nom.

    Edit : En regardant les liens de Dom, je vois que 2800! commence par un 1, et 2813! commence par un 9. Et donc 2800! commence par un nombre entre 133 et 148.
  • Bonjour.

    35! est plus proche d'une puissance de 10 (la quarantième, et juste d'un peu plus de 3%) que 52! n'est proche de la puissance de 10 correspondante.

    Dans une moindre mesure, 27! est aussi proche d'une puissance de 10.

    A moins d'une coïncidence numérique, vu la croissance de la factorielle il est peu probable qu'on ait quelque chose de 'proche' d'une puissance de 10 dans l'absolu.

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

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  • Parmi toutes les factorielles, quelle est la plus proche d'une puissance de $10$ ?

    Interprétation 1 : La plus proche en valeur absolue : Ce nombre est atteint relativement tôt. Dès $5!$, toutes les factorielles sont des multiples de 3, et de 10, puis des multiples de 3 et de $10^k$, avec k de plus en plus grand.
    Entre un nombre multiple de $3 \times 10^k$ , et une puissance de 10 ($10^p$ avec p>k), la différence est un multiple non nul de $10^k$.
    Donc plus on regarde des nombres grands, plus on a la certitude de ne pas trouver des différences petites.
    Parmi toutes les factorielles la plus proche d'une puissance de 10, c'est 1! qui est une puissance de 10, puis $3!$

    Interprétation 2 : La plus proche en pourcentage.
    Conjecturons !
    Pour tout réel $\epsilon > 0 $ , il existe un couple d'entiers $(n,p)$ tel que $\dfrac{n!}{10^p}$ soit dans l'intervalle $]1-\epsilon, 1+\epsilon[ $
  • @lourran te reformulation de la question est plus claire parmi «toutes les factorielles, quelle est la plus proche d'une puissance de 10 » merci

    wolfram t’as les décimales de 2800!
    Pour 2813!
  • @lourrran : Tu penses à la loi de Benford.
  • Bonsoir.

    Lourrran, pour ta première interprétation, il me semble que tu oublies la plupart des nombres premiers (7, 11, 13,...) ainsi que leurs puissances respectives (9 est une puissance de 3, le facteur 3 n'est donc pas unique, contrairement à ce que ta représentation laisse entendre).

    J'ai surtout mis 7, 11 et 13 en évidence car leur produit est très proche d'une puissance de 10, ce qui n'est pas évident de prime abord.

    À bientôt.

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  • Bonsoir

    j'ai calculé 52! avec la formule de Stirling soit $8,052902038X10^{67}$

    je soustrais cette grandeur à $10^{68}$ et je divise par $10^{68}$

    j'obtiens une erreur relative de 0,1947097962....soit presque 20 %

    l'approximation n'est pas acceptable

    Cordialement
  • Lourran : je propose un peu mieux "la suite $(\{\log_{10}(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", on peut a priori pousser encore un peu plus en disant "la suite $(\{\log_a(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", ce qui répond à déjà pas mal de questions de ce fil. Indication (en blanc) : commencer par démontrer que $\color{white}(\{\log_a(n)\})_n$ est dense dans $[0;1]$.

    Est-elle équirépartie ? Je crois que je ne connais pas la réponse à cette question.

    Par contre pour la question de Poirot aucune idée, j'aurais tendance à dire que $\lim n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}=+\infty$ mais c'est une simple intuition.
  • Oui Renart la partie fractionnaire de ln(n!) est dense dans [0;1] c‘était un oral ENS 2018 MP.
  • Poirot,
    Loi de Benford, oui, c'est exactement ça. Peut-être que je vais finir par retenir son nom !

    Dreamer
    Je n'oublie pas les autres nombres qui interviennent dans la décomposition de $n!$, je dis juste que $n!$ est un multiple de $3$, et un multiple de $10^k$, avec $k$ éventuellement assez grand.
    Par exemple pour $33!$, on a $5 , 10, 15, 20 , 25, 30$ comme facteurs, donc $33!$ est divisible par $5^7$ ... et par suite, divisible par $3*10^7$.
    Et donc, tous les $k!$, avec $k>33$, sont aussi des multiples de $3*10^7$.
    Je suis bien conscient qu'ils ont plein d'autres diviseurs, mais déjà, le fait d'être multiple de $3*10^7$, ça empêche tous ces nombres d'être à une distance inférieure à $10^7$ d'une puissance de $10$.

    Et on peut le généraliser, l'étendre même ...
    Soit un entier $k$ donné ($k=10$ jusque là, mais on peut prendre $k$ quelconque).
    On définit la suite $u$ ainsi : $u(n) = \min_i \big(abs(n! -k^i) \big) $.
    En d'autres mots, pour un entier $n$, on recherche la puissance de $k$ la plus proche possible de $n!$, et on calcule la différence entre $n!$ et $k^i$, en valeur absolue.
    Cette suite $u$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.
  • D'accord, j'ai mieux compris ton argument.

    À bientôt.

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