Puissance de 10

Proche ?
J’ai une mauvaise calculatrice qui me donne environ $8,06 \times 10^{67}$.
Mais est-ce « proche » de $10^{68}$ ?

exponentiellement parlant oui c'est proche

$\displaystyle \frac{\log(10^{68})}{\log(52!)}=1.00137470498...$

(message en même temps

Quentino37:C'est bien ce que je voulais dire: c'est quoi proche?

Amédé : je dirais que c'est équivalent à $n!$.

N'empêche que cette notion de "proche" est vaste.

Merci pour ce challenge des plus épanouissants Quentino$[\pi]*10+\left[(\sqrt{\pi}-1)*10\right]$

Ça serait intéressant en effet. Il y a tellement d'acception pour proche: o, O, $\sim$... Il faudrait faire de la physique car ils ont une bonne notion de la notion de proche suivant l'échelle.

Dom: pour moi proche pour deux nombres c'est quand $|a-b|<1$ ou $\left|\dfrac{a}{b}\right|\in[0.8;1]$.

Une question véritablement intéressante serait plutôt d'étudier $n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}$.

Bonjour.

35! est plus proche d'une puissance de 10 (la quarantième, et juste d'un peu plus de 3%) que 52! n'est proche de la puissance de 10 correspondante.

Dans une moindre mesure, 27! est aussi proche d'une puissance de 10.

A moins d'une coïncidence numérique, vu la croissance de la factorielle il est peu probable qu'on ait quelque chose de 'proche' d'une puissance de 10 dans l'absolu.

À bientôt.

Bonsoir.

Lourrran, pour ta première interprétation, il me semble que tu oublies la plupart des nombres premiers (7, 11, 13,...) ainsi que leurs puissances respectives (9 est une puissance de 3, le facteur 3 n'est donc pas unique, contrairement à ce que ta représentation laisse entendre).

J'ai surtout mis 7, 11 et 13 en évidence car leur produit est très proche d'une puissance de 10, ce qui n'est pas évident de prime abord.

À bientôt.

Lourran : je propose un peu mieux "la suite $(\{\log_{10}(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", on peut a priori pousser encore un peu plus en disant "la suite $(\{\log_a(n!)\})_n$ est dense dans $[0;1]$", ce qui répond à déjà pas mal de questions de ce fil. Indication (en blanc) : commencer par démontrer que $\color{white}(\{\log_a(n)\})_n$ est dense dans $[0;1]$.

Est-elle équirépartie ? Je crois que je ne connais pas la réponse à cette question.

Par contre pour la question de Poirot aucune idée, j'aurais tendance à dire que $\lim n! - 10^{\lfloor \log_{10}(n!) \rfloor}=+\infty$ mais c'est une simple intuition.

Poirot,
Loi de Benford, oui, c'est exactement ça. Peut-être que je vais finir par retenir son nom !

Dreamer
Je n'oublie pas les autres nombres qui interviennent dans la décomposition de $n!$, je dis juste que $n!$ est un multiple de $3$, et un multiple de $10^k$, avec $k$ éventuellement assez grand.
Par exemple pour $33!$, on a $5 , 10, 15, 20 , 25, 30$ comme facteurs, donc $33!$ est divisible par $5^7$ ... et par suite, divisible par $3*10^7$.
Et donc, tous les $k!$, avec $k>33$, sont aussi des multiples de $3*10^7$.
Je suis bien conscient qu'ils ont plein d'autres diviseurs, mais déjà, le fait d'être multiple de $3*10^7$, ça empêche tous ces nombres d'être à une distance inférieure à $10^7$ d'une puissance de $10$.

Et on peut le généraliser, l'étendre même ...
Soit un entier $k$ donné ($k=10$ jusque là, mais on peut prendre $k$ quelconque).
On définit la suite $u$ ainsi : $u(n) = \min_i \big(abs(n! -k^i) \big) $.
En d'autres mots, pour un entier $n$, on recherche la puissance de $k$ la plus proche possible de $n!$, et on calcule la différence entre $n!$ et $k^i$, en valeur absolue.
Cette suite $u$ tend vers $+ \infty$ quand $n$ tend vers $+ \infty$.