Coordonnée centre du cercle circonscrit

Fred69 · August 2021

Bonjour

Dans un triangle quelconque ABC A(Xa; Ya) B(Xb; Yb) C (Xc;Yc)

Exprimer les coordonnées Xm Ym du centre du cercle circonscrit en fonction des trois sommet.

ça doit être niveau Term S non ?

J'ai essayé de passer par la formule des médiatrice, puis d'utiliser l'intersection de deux droites (médiatrices...) j'arrive à deux équations à deux inconnues mais cela me semble trop compliqué pour être la solution

j'ai essayé de passer par le centre des segment, calculer la pente des segment, puis la fonction des médiatrices (pente opposée inverse vu qu'elles sont perpendiculaire) en fonction des sommets toujours... avec des Y=ax+b,, le calcul du milieu de chaque segment afin d'avoir b. j'ai beau tout calculer, ça fait de l'algèbre à rallonge et cela me semble louche et inutilisable. J'ose même pas essayer de poser l'égalité entre les deux équation de deux médiatrices différente tellement il y a de termes.

j'ai enfin essayé de passer par l'équation du cercle, qui est vérifiée par les trois sommets.

A chaque fois je développe, puis j'essaie de simplifier et factoriser pour isoler les inconnues, mais il y a pas mal de termes et je pense pas que je m'y prenne de la bonne manière.

Une idée ?

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Soit $a=BC=\sqrt{(xc-xb)^2+(yc-yb)^2}$ et permutation circulaire.
Soit pose $S_a=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}$ et permutation circulaire.
Le centre du cercle circonscrit est alors le barycentre des points $A,B,C$ avec les coefficients $a^2S_a,\space b^2S_b, \space c^2S_c$.

Cordialement,

Rescassol

Fred69 · August 2021

merci de votre aide

si j'ai bien compris

Xm= (Xa*a²Sa+Xb*b²Sb+Xc*c²Sc)/3 ??

Idem pour Ym ?

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Le dénominateur n'est pas $3$ mais la somme des coefficients.

Cordialement,

Rescassol

pappus · August 2021

Mon cher Fred69
Tu as mal. compris!
Ce n'est pas ainsi que fonctionnent les barycentres!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Fred69 · August 2021

Merci

Xm= (Xa*a²Sa+Xb*b²Sb+Xc*c²Sc)/(a²Sa+b²Sb+c²Sc) ?

c'est très gentil de me donner la solution, mais il va me falloir la démontrer au prof...

ça vient d'où ? Al kashi, Euler, Héron, relation des sinus ? :-S

Autre question : il demande aussi le rayon en fonction des coordonnées. Avec la loi des Sinus, on sait que R=a/(2sinÂ). mais comment exprimer SinÂ en fonction des coordonnées ? avec des vecteurs ?

encore merci pour votre aide.

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Je n'avais pas compris qu'il s'agissait d'un exo de lycée. Je n'aurais pas du donner le résultat. Comme je ne sais plus ce qui est au programme à tel ou tel niveau, je ne peux pas en dire plus, à part l'évidence $R=MA$, une fois qu'on a $M$. Sinon, ton idée de passer par les équations de deux médiatrices fonctionne très bien.

Cordialement,

Rescassol

Fred69 · August 2021

Oui pour le rayon sinon c'est pas compliqué, une fois qu'on a le centre, il se calcule avec la distance à n'importe quel sommet.

Mais maintenant il me faut démontrer l'équation du centre (:P)

je suis plus précisément en reprise d'étude dans une école d'ingé suite à un bac S en 2007.

pour la médiatrice de AB j'ai vérifié et je trouve comme équation

0=Xb²-Xa²+Yb²-Ya² + Xm (-2Xb+2Xa) + Ym ( -2Yb+2Ya)

j'ai posé médiatrice de AB=mediatrice de AC.... ça me fait un de ces bordel. Les termes en Xa Ya s'annulent, apres j'ai cela ci joint. 126372

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Avec Matlab, car j'ai la flemme de faire les calculs à la main:

% Cercle passant par A,B, C
% Son équation est x^2+y^2+ax+by+c=0
% On résout un système dont les inconnues sont les coefficients a,b,c

clc, clear all, close all;

syms xa xb xc ya yb yc

Mat=[xa ya 1; xb yb 1; xc yc 1];   % Matrice du système
Sec=[-xa^2-ya^2; -xb^2-yb^2; -xc^2-yc^2]; % Second membre

S=linsolve(Mat,Sec)   % Solution du système

% On trouve:

a=-(xa^2*yb - xa^2*yc - xb^2*ya + xb^2*yc + xc^2*ya - xc^2*yb + ya^2*yb - ya^2*yc - ya*yb^2 + ya*yc^2 + yb^2*yc - yb*yc^2)/(xa*yb - xb*ya - xa*yc + xc*ya + xb*yc - xc*yb)
b=-(- xa^2*xb + xa^2*xc + xa*xb^2 - xa*xc^2 + xa*yb^2 - xa*yc^2 - xb^2*xc + xb*xc^2 - xb*ya^2 + xb*yc^2 + xc*ya^2 - xc*yb^2)/(xa*yb - xb*ya - xa*yc + xc*ya + xb*yc - xc*yb)
c=(- xa^2*xb*yc + xa^2*xc*yb + xa*xb^2*yc - xa*xc^2*yb + xa*yb^2*yc - xa*yb*yc^2 - xb^2*xc*ya + xb*xc^2*ya - xb*ya^2*yc + xb*ya*yc^2 + xc*ya^2*yb - xc*ya*yb^2)/(xa*yb - xb*ya - xa*yc + xc*ya + xb*yc - xc*yb)

% Il n'y a plus qu'à en extraire le centre M(-a/2;-b/2) 
% et le rayon donné par R^2=(a^2+b^2)/4-c

Cordialement,

Rescassol

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Ce qui donne:

R2=(xa^2 - 2*xa*xb + xb^2 + ya^2 - 2*ya*yb + yb^2)*(xa^2 - 2*xa*xc + xc^2 + ya^2 - 2*ya*yc + yc^2)*(xb^2 - 2*xb*xc + xc^2 + yb^2 - 2*yb*yc + yc^2)/(4*(xa*yb - xb*ya - xa*yc + xc*ya + xb*yc - xc*yb)^2)

Cordialement,

Rescassol

Fred69 · August 2021

Bonjour
merci.
C'est bien de l'algèbre à rallonge.
Cela m'étonnerait que c'est ce qu'attend le prof, et si vous avez la flemme, imaginez moi.
Il doit y avoir quelque chose que je n'ai pas compris dans l'énoncé du prof (énoncé à l'oral bien sûr)

Ludwig · August 2021

Bonjour,

Pour les coordonnées du centre il est peut-être plus rapide d'écrire que les carrés des distances du centre aux sommets du triangle sont égaux ? On obtient le système :
$2x( \; xa - \; xb) + 2y( \; ya - \; yb) = xb^{2}-xa^{2} + yb^{2} - ya^{2}$
$2x( \; xa - \; xc) + 2y( \; ya - \; yc ) = xc^{2}-xa^{2} + yc^{2} - ya^{2} $.

Dont la solution est :
$x = \frac{-xa^{2} \; yb + xa^{2} \; yc + xb^{2} \; ya - xb^{2} \; yc - xc^{2} \; ya + xc^{2} \; yb - ya^{2} \; yb + ya^{2} \; yc + ya \; yb^{2} - ya \; yc^{2} - yb^{2} \; yc + yb \; yc^{2}}{2 \; xa \; yb - 2 \; xa \; yc - 2 \; xb \; ya + 2 \; xb \; yc + 2 \; xc \; ya - 2 \; xc \; yb}$
$y = \frac{xa^{2} \; xb - xa^{2} \; xc - xa \; xb^{2} + xa \; xc^{2} - xa \; yb^{2} + xa \; yc^{2} + xb^{2} \; xc - xb \; xc^{2} + xb \; ya^{2} - xb \; yc^{2} - xc \; ya^{2} + xc \; yb^{2}}{2 \; xa \; yb - 2 \; xa \; yc - 2 \; xb \; ya + 2 \; xb \; yc + 2 \; xc \; ya - 2 \; xc \; yb}$.

gerard0 · August 2021

Fred69 a écrit:

si vous avez la flemme, imaginez moi.

Heu ... c'est bien toi qui as posé le sujet de ce fil et qui as cet exercice à faire. Donc tu n'as aucune raison d'avoir la flemme !! C'est de niveau seconde/première (anciens programmes, car pour les actuels, je suis perdu dans les options - j'ai enseigné ça en première STI autrefois). C'est seulement un calcul un peu long.

Cordialement.

Rescassol · August 2021

Bonjour,

Ludwig, ce que tu fais, c'est résoudre le système constitué par les équations des médiatrices de $[AB]$ et $[AC]$.
De toutes façons, quelle que soit la méthode, on a à peu près la même quantité de calculs, et on aboutit évidemment aux mêmes expressions.
On peut exprimer les résultats qui sont dans mon code en fonctions de quelques déterminants.
Cordialement,

Rescassol

pappus · August 2021

Bonjour à tous
Les calculs les plus courts se font via la géométrie affine et les fonctions scalaires de Leibniz.
Autant dire tout de suite qu'ils ne sont plus accessibles au grand public puisque la géométrie affine se limite chez nous à ânonner ad nauseam l'axiome de Thalès.
Preuve:
La fonction scalaire de Leibniz $\varphi_A:M\mapsto MB^2-MC^2\ $ est affine.
Donc si les coordonnées barycentriques normalisées de $M\ $ dans le triangle $ABC\ $ sont $(x,y,z)\ $, on a :
$$\varphi_A(M)=\varphi_A(x.A+y.B+z.C)=x\varphi_A(A)+y\varphi_A(B)+z\varphi_A(C)=x(AB^2-AC^2)-yBC^2+zBC^2=x(c^2-b^2)-ya^2+za^2\qquad$$
L'équation barycentrique homogène de la médiatrice de $BC\ $ s'écrit donc:
$$x(c^2-b^2)-ya^2+za^2=0\qquad$$
Celles des deux autres médiatrices s'obtiennent par permutations circulaires, (sont-elles encore enseignées?) et au total on doit résoudre le système linéaire homogène suivant:
$$\begin{cases}
(c^2-b^2)x-a^2y+a^2z&=&0\\
b^2x+(a^2-c^2)y-b^2z&=&0\\
-c^2x+c^2y+(b^2-a^2)z&=&0
\end{cases}
\qquad
$$
Et puis bien sûr, comme d'habitude, on attendra que je résolve ce système!!
Faut pas pousser pépé dans les bégonias!!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Bouzar · August 2021

Bonsoir à tous,

En posant $a=x_a+iy_a$ ...etc, alors le centre du cercle circonscrit au triangle de sommets $A(a)$, $B(b)$, $C(c)$ a pour affixe:

$\Large \begin{equation*}
z_{0}=\frac{\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\
|a|^{2} & |b|^{2} & |c|^{2}
\end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 \\
a & b & c \\
\overline{a} & \overline{b} &
\overline{c}
\end{vmatrix}
}.
\end{equation*}$

Amicalement

Ludwig · August 2021

Le plus court c'est vite dit pappus ! En tous cas le plus simple c'est à mon avis d'écrire l'égalité des carrés des distances du centre aux sommets du triangle comme je l'ai fait, car on obtient directement un système de deux équations à deux inconnues. D'accord Rescassol c'est le même que celui avec les médiatrices, mais il est obtenu en deux lignes au lieu de cinq.
Quant à ton système pappus je te fais une fleur en te donnant une solution :
$$x=a^2(b^2+c^2-a^2), y=b^2(a^2+c^2-b^2), z=c^2(a^2+b^2-c^2).$$

pappus · August 2021

Mon cher Ludwig
Tu as trois solutions sous les yeux: la tienne, celle de Resccassol et la mienne.
A toi de comparer leur longueur et la simplicité de leurs résultats!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Ludwig · August 2021

Hum... s'il fallait choisir je prendrais la tienne. Mais je ne choisis pas et je prends la mienne, car c'est la mienne.

Rescassol · August 2021

Bonsoir,

Moi, je choisis la mienne car elle est déjà programmée.
Ça m'évite d'en programmer une autre :-D

Cordialement,

Rescassol

pappus · August 2021

Bonsoir à tous
En fait chacune a son utilité propre et répond à des besoins spécifiques.
Ce qui est certain en tout cas, c’est que la géométrie du triangle n’a pu se développer de façon cohérente qu’en utilisant les coordonnées barycentriques.
Donc les formules utilisant ces coordonnées sont à privilégier.
Ceci dit, rien n’interdit d’utiliser d’autres coordonnées à ses risques et périls!
Amicalement
[small]p[/small]appus

Coordonnée centre du cercle circonscrit

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