Moivre-Laplace par Fourier
Bonjour,
voici un exercice qui semble vouloir établir le théorème de Moivre-Laplace. Celui-ci doit être faisable avec le niveau Spé normalement (devoir de révision laissés au 5/2 par le prof de Spé de mon frère, qui ne peut donc pas le faire).
Les parties précédentes du problème s'intéressaient à l'espace de Schwartz, à la transformée de Fourier. En particulier, on y établissait que la transformation de Fourier était bijective, que l'espace de Schwartz était un ev stable par la transformation de Fourier et que la gaussienne était un "point fixe" de la transformation.
Voici ce qui pose problème en PJ.
Les questions 20 et 21 se sont bien passées.
Pour 22, j'aboutis avec la formule de transfert sur
$$\mathbf{E}(e^{-2i\pi t S_n^*})=e^{2i \pi t \sqrt{\frac{np\vphantom1}{1-p}}} \Big(1 - p + p e^{-2i \pi t \sqrt{\frac{1}{np(1-p)}}}\Big)^n,
$$,et impossible de parvenir à la limite. J'ai tenté un développement limité, l'idée étant de faire apparaître une expression similaire à la question 21, cela n'y fait rien.
Pour 23, je remarque que
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) e^{-t^2/2}dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\phi}(-t) e^{-2\pi^2t^2/2}dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\phi}(-t) \lim_n \mathbf{E}(e^{-2i\pi t S_n^*}) dt,
$$ mais cela ne m'aide pas beaucoup...
Et enfin par curiosité, j'aimerais savoir comment conclure sur le théorème de Moivre-Laplace à proprement parler. En école, nous l'avions fait avec les fonctions caractéristiques et les théorèmes de Lévy il me semble, mais qui sont ici hors-sujet !
Mon idée à la base, c'était de considérer $\phi=1_{[a,b]}$ l'indicatrice du segment $[a,b]$ puisque alors nous aurions $\mathbf{E}(\phi(S_n^*))=\mathbf{P}(a\leq S_n^*\leq b)$ et la limite donnerait alors le théorème recherché.
Le problème, c'est que les indicatrices ne sont absolument pas dans l'espace de Schwartz (qui exige la classe infinie). J'imaginais alors qu'on pouvait approcher $\phi$ par une suite de fonctions de classe $C^\infty$ (en imaginant par exemple la fonction $\phi_p$ nulle sur $]-\infty, a-\frac1p]\cup[b+\frac1p,+\infty[$, égale à 1 sur $[a+\frac1p,b-\frac1p[$ et avec un raccord "qui va bien" sur les deux morceaux restants). L'égalité qu'on a serait alors vraie pour $\phi_p$, mais il faudrait ensuite avoir un double passage à la limite, peut-être un peu douteux...
Auriez-vous quelques petites pistes pour débloquer ce problème ?
Bonne journée !
voici un exercice qui semble vouloir établir le théorème de Moivre-Laplace. Celui-ci doit être faisable avec le niveau Spé normalement (devoir de révision laissés au 5/2 par le prof de Spé de mon frère, qui ne peut donc pas le faire).
Les parties précédentes du problème s'intéressaient à l'espace de Schwartz, à la transformée de Fourier. En particulier, on y établissait que la transformation de Fourier était bijective, que l'espace de Schwartz était un ev stable par la transformation de Fourier et que la gaussienne était un "point fixe" de la transformation.
Voici ce qui pose problème en PJ.
Les questions 20 et 21 se sont bien passées.
Pour 22, j'aboutis avec la formule de transfert sur
$$\mathbf{E}(e^{-2i\pi t S_n^*})=e^{2i \pi t \sqrt{\frac{np\vphantom1}{1-p}}} \Big(1 - p + p e^{-2i \pi t \sqrt{\frac{1}{np(1-p)}}}\Big)^n,
$$,et impossible de parvenir à la limite. J'ai tenté un développement limité, l'idée étant de faire apparaître une expression similaire à la question 21, cela n'y fait rien.
Pour 23, je remarque que
$$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{+\infty} \phi(t) e^{-t^2/2}dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\phi}(-t) e^{-2\pi^2t^2/2}dt = \int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\phi}(-t) \lim_n \mathbf{E}(e^{-2i\pi t S_n^*}) dt,
$$ mais cela ne m'aide pas beaucoup...
Et enfin par curiosité, j'aimerais savoir comment conclure sur le théorème de Moivre-Laplace à proprement parler. En école, nous l'avions fait avec les fonctions caractéristiques et les théorèmes de Lévy il me semble, mais qui sont ici hors-sujet !
Mon idée à la base, c'était de considérer $\phi=1_{[a,b]}$ l'indicatrice du segment $[a,b]$ puisque alors nous aurions $\mathbf{E}(\phi(S_n^*))=\mathbf{P}(a\leq S_n^*\leq b)$ et la limite donnerait alors le théorème recherché.
Le problème, c'est que les indicatrices ne sont absolument pas dans l'espace de Schwartz (qui exige la classe infinie). J'imaginais alors qu'on pouvait approcher $\phi$ par une suite de fonctions de classe $C^\infty$ (en imaginant par exemple la fonction $\phi_p$ nulle sur $]-\infty, a-\frac1p]\cup[b+\frac1p,+\infty[$, égale à 1 sur $[a+\frac1p,b-\frac1p[$ et avec un raccord "qui va bien" sur les deux morceaux restants). L'égalité qu'on a serait alors vraie pour $\phi_p$, mais il faudrait ensuite avoir un double passage à la limite, peut-être un peu douteux...
Auriez-vous quelques petites pistes pour débloquer ce problème ?
Bonne journée !
Réponses
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Tu peux réécrire \begin{align*}\mathbb E\left(e^{-2i\pi tS_n^*}\right) &= \left((1-p)e^{\frac{2i \pi t p}{\sqrt{np(1-p)}}} + p e^{\frac{2i \pi t (p-1)}{\sqrt{np(1-p)}}}\right)^n\\ &= \left((1-p)\left(1 + \frac{2i\pi t p}{\sqrt{np(1-p)}} - \frac{2 \pi^2 t^2 p^2}{np(1-p)}\right) + p\left(1+\frac{2i\pi t (p-1)}{\sqrt{np(1-p)}} - \frac{2 \pi^2 t^2 (p-1)^2}{np(1-p)} \right) + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n\\ &= \left(1 - \frac{2 \pi^2 t^2}{n} + o\left(\frac{1}{n}\right)\right)^n \end{align*} après simplifications.
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Pour la 23 il s'agit d'appliquer le théorème de convergence dominée puis le théorème de Fubini (je ne suis pas certain que ce soit au programme de spé) à partir de ta dernière étape :
\begin{align*}\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(-t) \lim_{n \to +\infty} \mathbb{E}(e^{-2i\pi t S_n^*}) \,\mathrm{d}t &= \lim_{n \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} \mathbb E\left(\hat{\varphi}(-t) e^{-2i\pi t S_n^*}\right) \,\mathrm{d}t\\ &= \lim_{n \to +\infty} \mathbb E\left(\int_{-\infty}^{+\infty} \hat{\varphi}(-t) e^{-2i\pi t S_n^*}\right) \,\mathrm{d}t\end{align*}
puis appliquer la formule d'inversion de Fourier dans cette dernière intégrale pour retrouver $\mathbb E(\varphi(S_n^*))$. -
Bonjour Poirot,
merci pour ces réponses !
Pour la 22, j'étais parti là-dessus mais j'avais fait une erreur dans les simplifications, si bien que je me retrouvais avec du $p$ et du $1-p$ au dénominateur ! Cependant, je suis surpris car j'ai l'impression que la question 21 ne sert finalement pas...
Et quand bien même elle servirait, j'ai l'impression qu'on modifie l'énoncé de la 21 avec la présence du $o(1/n)$ dans $(1+\frac{z+o(1)}{n})^n$. Si on était avec des réels, ça ne me dérangerait pas vu qu'on passe par le logarithme, mais avec les complexes on a du faire une petite manipulation...
Pour la 23, j'applique le TCD en dominant par $\hat{\phi}$ qui est bien intégrable (puisque l'espace de Schwartz est stable). Cela me permet donc de faire sortir la limite de l'intégrale.
Ensuite, je ne suis pas sûr que Fubini soit nécessaire pour permuter l'espérance et l'intégrale : vu qu'on regarde une somme finie et que chacune des intégrales est convergente, on peut finalement les permuter librement.
Et enfin, je retrouve en appliquant la transformation inverse, c'est super !
Merci beaucoup pour ces conseils !
Avez-vous une idée par rapport au dernier point ? A savoir la déduction de Moivre-Laplace à partir de ce résultat (ce n'était pas demandé par le sujet, mais c'est dommage de s'arrêter en si bon chemin) -
Ça date un peu mais l'espace S n'est-il pas suffisant pour établir la convergence en loi ?
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@RLC : Toute la subtilité est de montrer l'équivalence entre les différentes définitions de la convergence en loi, ce n'est pas chose aisée et ça nécessite de rentrer véritablement dans des considérations de théorie de la mesure. On peut invoquer par exemple le théorème de Portmanteau.
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Pour moi la "définition première" est justement celle que traduit la dernière question du problème.
Étant donné que c'est niveau spé je ne sais pas ce qui est connu ou non. En fait on ne voyait que les convergences presque sûre et en probabilité dans mes souvenirs. -
Bonjour,
en effet, il semblerait que la convergence en loi soit définie par la façon proposée par le sujet. Je l'avais oubliée, mea culpa^^'
En fait, je ne trouve pas ça très "concret" (surtout quand on compare avec les variables discrètes où on regarde la limite de $(\mathbf{P}(X_n=k))_n$ par exemple). Typiquement, quelque chose qui se comprendrait davantage serait :
$$\mathbf{P}(a\le S_n^*\le b) \rightarrow \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_a^b e^{-t^2/2}dt$$
ce qui fait un peu mieux voir l'aspect "densité".
Là, avec cette idée de "vrai pour toutes les fonctions $\phi\in \S$", il y a comme un goût d'inachevé un peu frustrant et peu parlant. Mais peut-être que la pirouette pour aboutir sur ce que je "demande" est trop technique ? -
Oui c'est "trop technique", voir le lien que j'ai donné dans mon précédent message.
-
Mais ne faut-il pas un théorème à la Lévy pour justifier que vérifier la convergence sur l'espace S suffit ?
-
Très bien, je m'en contenterai et ferai confiance aux porte-manteaux dans ce cas
Merci pour votre aide et bonne soirée !
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Bonjour!
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