Intervalle sans quadratfrei

noradan
noradan
dans Arithmétique
Bonjour
Ça doit être idiot mais quelque chose m'échappe.

Comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs tous divisibles par un carré ?
Merci.

[L'apostrophe n'est pas un élément de décoration ! AD]

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je ne sais pas si j’ai bien compris.

    $4$ est un carré.
    Il ne divise pas les entiers impairs donc peu d’entiers consécutifs.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    "Quadratfrei" signifie "sans facteur carré" en allemand, pour les non germanophones du forum.

    La question est, ceci dit, extrêmement mal posée. Quelle est la question exactement ?

    Pour reformuler ce qu'a dit Dom, parmi $4$ entiers consécutifs, il en existe toujours un divisible par $4$, donc un intervalle qui ne contient que des nombres sans facteur carré est de longueur au plus $3$. Sans avoir une idée de la vraie question, difficile de dire quelque chose de plus intéressant.
  • Cidrolin
    Cidrolin
    Regardez la suite http://oeis.org/A045882 , il y a des indications.
  • jandri
    jandri
    Le titre ne correspond pas à la question !

    Edit : j'avais mal compris le titre mais bien compris la question !

    On peut facilement démontrer avec le théorème chinois que pour tout entier $n$ il existe $n$ entiers consécutifs tous divisibles par un carré supérieur à $1$.
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonjour.

    (8, 9) est le premier exemple de couple de nombres consécutifs divisibles par un carré supérieur à 1 (différent pour chacun).

    [Édit : Et ce qui est aussi remarquable est que les carrés en question sont aussi les carrés de nombres successifs.]

    À bientôt.

    Cherche livres et objets du domaine mathématique :

    Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.

  • Sylvain
    Sylvain
    noradan a écrit:
    Comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs tous divisibles par un carré ?
    Noradan n'a pas dit "par un même carré". Personnellement j'ai tout de suite compris ce qu'il voulait dire. Je m'abstiendrai de tout commentaire désobligeant mais n'en pense pas moins.
  • Grenouille factorielle
    Grenouille factorielle
    Moi je n'ai rien compris à sa question, pourrais-tu reformuler Sylvain ?
  • Dreamer
    Dreamer
    Bonsoir.

    Moi je pensais avoir compris, mais maintenant je doute de ma réponse.

    À bientôt.

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  • gerard0
    gerard0
    La question de départ (*) est "comment prouver qu'il existe des intervalles d'entiers [m,n] (m<n) de longueur n-m+1 aussi grande que l'on veut, et tels que chacun des entiers de l'intervalle est multiple d'un carré d'entier.
    Jandri a parfaitement répondu à la question.

    Noton que Noradan n'est pas revenu, même pas pour remercier ou demander des précisions. Ni même pour rectifier son titre.

    Cordialement.

    (*) celle qui est posée et qui dit le contraire du sujet mis en titre.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    "quadratfrei " veut dire "sans facteur carré" (frei=libre).
    Donc "sans quadratfrei" veut dire le contraire de "sans facteur carré", c'est à dire "avec facteur carré".
    La question posée correspond donc au titre, même si c'est maladroit.

    Cordialement,

    Rescassol
  • gerard0
    gerard0
    Ah effectivement !

    Je ne sais pourquoi j'ai lu à l'envers ce que j'avais bien compris au début ? Peut-être par influence des réponses, et confiance dans Jandri ...
    Merci de la rectification.
  • Homo Topi
    Homo Topi
    La question demeure incompréhensible, si ce n'est que Dom avait dit dès le départ que tout intervalle de longueur $4$ contient un nombre divisible par un carré. Et j'avais déjà traduit "quadratfei" la semaine dernière, en réappuyant ce que Dom avait dit... ça donne l'impression de ne pas être lu. En particulier par noradan, qui pose une question qui n'a aucun sens et ne se soucie pas des réponses qu'on lui donne.
  • gerard0
    gerard0
    Non, Homo Topi,

    après la rectification de Rescassol, la question est tout à fait claire. Dom s'est intéressé aux intervalles "avec quadratfrei", c'est à dire dont aucun nombre n'est divisible par un carré. Noradan s'intéresse aux intervalles sans quadratfrei, sans nombres qui sont sans facteurs carrés, donc pour lesquels tous les nombres ont au moins un facteur carré. C'est vrai que la double négation est piégeuse !

    Cordialement.
  • jandri
    jandri
    C'est bien moi qui ait mal compris la double négation dans le titre mais heureusement j'ai quand-même compris la question !
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Dans le français que je parle, "Comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs tous divisibles par un carré ?" n'est pas une question compréhensible. Autant, c'est combien ? Sans plus de contexte, la question n'a pas de sens clairement identifié.

    Une question comme "Pour tout $n$, peut-on trouver un intervalle d'entiers, de longueur $n$, dont tous les éléments ont un facteur carré ?", là oui. Mais la question d'origine, non, elle n'a pas de sens. Et ça n'a aucun rapport avec une double négation.
  • gerard0
    gerard0
    Désolé, Homo Topi,

    mais ta première formulation dit en français courant exactement la même chose que la deuxième. C'est peut-être simplement que tu préfères les formulations de mathématiciens, qui ne sont pourtant que des traductions en formules de notions en français courant dans ce genre d'exercice.
    Il est possible que ce soit l'origine de ton impression de ne pas savoir faire en analyse (car tu t'y débrouilles très bien), tout comme mon incapacité à traduire en langage courant certaines notions d'algèbre me bloque.

    Cordialement.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Effectivement, Homo Topi, tes deux phrases disent la même chose, mais une est maladroite et l'autre est bien formulée.
    Quant à la double négation, comme déjà dit, elle est dans le titre: "sans" est une négation et "frei" en est une autre.

    Cordialement,

    Rescassol
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Je maintiens que la question "Comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs tous divisibles par un carré ?" ne veut rien dire [size=x-large]de précis[/size] à cause du mot "autant". J'ai déjà dit que je n'ai aucun problème de double négation, et que je parle l'allemand.
  • gerard0
    gerard0
    Ne pas confondre "j'ai du mal à comprendre", ou "ce n'est pas du langage mathématique" avec "ça ne veut rien dire de précis".
    Le mot "autant" est parfaitement français, et la phrase est rédigée par (probablement) un non francophone qui n'a pas repris l'expression traditionnelle "autant que l'on veut", mais tout le monde peut comprendre s'il le veut. Je suis sûr qu'il t'arrive d'oublier un mot dans une phrase sans qu'on te dise "ça ne veut rien dire de précis".
    Tu chipotes. mais je te rétablis la phrase en bon français : "Comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs que l'on veut tous divisibles par un carré que l'on veut ?"

    Cordialement.

    Merci Dreamer pour la correction !
  • Homo Topi
    Homo Topi
    Tu confirmes qu'il manquait quelque chose d'important dans la question d'origine. Justement, vu que l'auteur est probablement non francophone, il est tout à fait possible qu'il voulait en fait dire autre chose que ce que nous avons cru devoir comprendre. D'où l'intérêt de demander des précisions. Je chipote à raison.
  • gerard0
    gerard0
    Comme cette phrase que tu ne veux pas comprendre n'est que la traduction du titre, qui est précis et en vocabulaire mathématique, tu chipotes bien !

    Cordialement.
  • noradan
    noradan
    Bonjour à tous !
    Je ne m'attendais pas à un tel torrent
    Merci Gerard0

    Désolé pour les apostrophes et pour le silence mais sans internet du tout pas même un petit hotspot et juste un petit téléphone archaïque c'est assez difficile de répondre ou d'écrire correctement.
    Donc ma question était donc bien
    "comment prouver que l'on peut trouver autant d'entiers consécutifs que l'on veut et qui soient tous divisibles par un carré"
    un petit programme en python permet de trouver (si je n'ai pas fait d'erreur):
    8 et 9 est le premier de longueur 2
    48, 49, 50 le premier de longueur 3
    242=2.11²,243=3².7, 244=4.61, 245=5.7² le premier de longueur 4

    Pour info "autant que l'on veut" est du français parfaitement compréhensible et qui veut dire "autant que l'on veut".
    (Je laisse aux maniaques du formalisme le soin de mettre des quantificateurs partout s'il trouve cela plus compréhensible. Pour ma part je préfère penser en Français)

    Je pensais adapter une preuve de "autant d'entiers consécutifs que l'on veut et qui soient tous composés" mais je tourne en rond.

    Merci
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.
    As-tu exploité l'idée de Jandri ? Dans ce message.

    Cordialement
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