Système dynamique
dans Analyse
Bonjour
Problème.
Considérer le système autonome $\quad x'=f(x),\quad $ avec
Prouvez que si
Merci.
Problème.
Considérer le système autonome $\quad x'=f(x),\quad $ avec
- $f: \Omega:=B_{r}(0) \to \mathbb{R}^{n}$.
- $0<r\leqslant +\infty$.
- $f$ est continue sur $\Omega$.
- $f$ est localement Lipschitz.
Prouvez que si
- $\exists E: \Omega \to \mathbb{R}$, tel que
- $E\in \mathcal{C}^{1}(\Omega)$.
- $E(x)>E(x_{0})$.
- $\langle \nabla E(x),f(x)\rangle \leqslant 0, \forall x\in \Omega$.
- $\varphi(t)\equiv x_{0}$ est une solution stable.
- $\langle \nabla E(x),f(x)\rangle=0, \forall x\in \Omega$.
- $\varphi(t)\equiv x_{0}$ n'est pas une solution asymptotiquement stable.
Merci.
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Réponses
Dans le premier cas il suffit de voir que si $E$ est au départ asez proche de $E(x_0 )$, alors on ne peut s'éloigner de $x_0 $ (on peut le faire en étudiant les images réciproques par $E$ de $[E(x_0 ) ; E(x_0 ) + \epsilon ]$ (en utilisant la topologie de la dimension finie).
Dans le second cas, $E(u(t))$ est constante en $t$. Que peut-on alors dire si on ne part pas exactement de $x_0 $~?
Je n'ai pas bien compris la suggestion, pouvez-vous élaborer davantage dans la preuve/commentaire?
Mon idée pour la première partie est de définir une fonction $V(x)=E(x)-E(x_{0})$ puis de prouver que $V$ est une fonction de Lyapunov et ensuite par le tthéorème de stabilité de Lyapunov s'assurer que la solution $x_0$ est stable. Mais mon argument ne fonctionne pas bien.
Préliminaires.
- Définition: Soit le système autonome $$x'=f(x), \quad (*)$$ avec $f: \Omega:=B_{r}(0)\to \mathbb{R}^{n}$ est localement Lipschitz. Une fonction de Lyapunov sur $\Omega$ pour être une fonction $E: \Omega \to \mathbb{R}$ satisfaisant la condition suivante.
- $E\in \mathcal{C}^{1}(\Omega), E(0)=0$.
- $E(x)>0, \forall x\not=0$.
- $\langle \nabla E(x),f(x)\rangle\leqslant 0, \forall x\in \Omega$.
- Théorème (Stabilité de Lyapunov): S'il existe une fonction $E$ satisfaisant $i), ii), iii)$ alors la solution triviale de $(*)$ est stable. Si, en outre, $E$ satisfait à $\langle \nabla E(x),f(x)\rangle<0,\forall x \in \Omega \setminus \{0\}$ alors la solution triviale est asymptotiquement stable
Démonstration:Sans perte de généralité, nous pouvons effectuer l'étude sur la solution triviale du problème. C'est-à-dire que nous étudions quand $\varphi(t)\equiv 0$. Supposons qu'il existe $E$ satisfaisant les hypothèses du problème et définissons une nouvelle fonction comme suit.
\begin{eqnarray*}
\mathbb{E}: \Omega\subseteq \mathbb{R}^{n} &\longrightarrow & \mathbb{R},\\
x&\longmapsto& \mathbb{E}(x):=E(x)-E(0)
\end{eqnarray*} Il est alors évident que $\mathbb{E}$ satisfait aux conditions $i), ii), iii)$, d'où il découle que $\mathbb{E}$ est une fonction de Lyapunov. Alors par le théorème de stabilité, la solution triviale $\varphi(t)\equiv 0$ est stable. Alors $\varphi(t)=x_{0}$ est stable. $\blacksquare$
Ce que j'ai écrit est-il correct ? Si elle est incorrecte, pourriez-vous corriger ma démonstration ?
Merci.
Pourriez-vous m'aider avec la deuxième partie ? Je n'ai aucune idée de comment progresser dans cette partie.
Par conséquent, $E(x(t)), \forall x\in \Omega$ serait la fonction constante et cela contredit alors le fait que $E$ est asymptotiquement stable. Donc $E$ ne peut pas être asymptotiquement stable.$\blacksquare$.?