Probabilités totales
Bonjour
On dispose de l'arbre pondéré ci-joint, ainsi que du diagramme circulaire qui présente juste la situation différemment. Sur le diagramme circulaire, même si c'est imprécis, $B$ occupe la moitié gauche du disque ; et $\overline{B}$ la moitié droite. D'après la formule des probabilités totales, $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\cap A_1)+\mathbb{P}(B \cap \overline{A_1})=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}_B(A_1)+\mathbb{P}(B)\mathbb{P}_B(\overline{A_1})=\frac{1}{2}$.
Or, comme $\text{Card}(A_1)=\frac{\text{Card}(B)}{3}$ et $\text{Card}(\overline{A_1})=\frac{2\text{Card(B)}}{3}$. Donc $\text{Card}(A_1)+\text{Card}(\overline{A_1})=\text{Card(B)}$. Si on appelle $\Omega$ l'univers tel que $\mathbb{P}(\Omega)=1$ et que $\text{Card($\Omega$)}\ne 0$, on peut diviser chaque membre par $\text{Card($\Omega$)}$ de telle façon à obtenir $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(\overline{A_1})$. Mais j'ai l'impression que cela n'est pas possible car les évènements ne sont pas équiprobables, puisque $\mathbb{P}(B\cap A_1) \ne \mathbb{P}(B \cap \overline{A_1})$.
Aussi, sans parler de cardinalité, comme $A_1$ et $\overline{A_1}$ sont deux sous-ensembles de $B$ tels que $A_1+\overline{A_1}=B$, j'ai aussi tendance à dire que $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A_1+\overline{A_1})$. D'après le diagramme circulaire, on a aussi l'impression que $\mathbb{P}_B(A_1)+\mathbb{P}_B(\overline{A_1})=\mathbb{P}(B)$, ce qui est faux d'après la formule des probabilités totales.
Cependant, ces deux résultats me paraissent incorrects et je ne vois pas où est l'erreur dans mon deuxième raisonnement. En réalité, je pense qu'un diagramme circulaire n'est pas une bonne méthode pour organiser les données car il induit en erreur. Si quelqu'un pouvait déblayer le terrain pour y voir plus clair. Merci.
On dispose de l'arbre pondéré ci-joint, ainsi que du diagramme circulaire qui présente juste la situation différemment. Sur le diagramme circulaire, même si c'est imprécis, $B$ occupe la moitié gauche du disque ; et $\overline{B}$ la moitié droite. D'après la formule des probabilités totales, $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(B\cap A_1)+\mathbb{P}(B \cap \overline{A_1})=\mathbb{P}(B)\mathbb{P}_B(A_1)+\mathbb{P}(B)\mathbb{P}_B(\overline{A_1})=\frac{1}{2}$.
Or, comme $\text{Card}(A_1)=\frac{\text{Card}(B)}{3}$ et $\text{Card}(\overline{A_1})=\frac{2\text{Card(B)}}{3}$. Donc $\text{Card}(A_1)+\text{Card}(\overline{A_1})=\text{Card(B)}$. Si on appelle $\Omega$ l'univers tel que $\mathbb{P}(\Omega)=1$ et que $\text{Card($\Omega$)}\ne 0$, on peut diviser chaque membre par $\text{Card($\Omega$)}$ de telle façon à obtenir $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A_1)+\mathbb{P}(\overline{A_1})$. Mais j'ai l'impression que cela n'est pas possible car les évènements ne sont pas équiprobables, puisque $\mathbb{P}(B\cap A_1) \ne \mathbb{P}(B \cap \overline{A_1})$.
Aussi, sans parler de cardinalité, comme $A_1$ et $\overline{A_1}$ sont deux sous-ensembles de $B$ tels que $A_1+\overline{A_1}=B$, j'ai aussi tendance à dire que $\mathbb{P}(B)=\mathbb{P}(A_1+\overline{A_1})$. D'après le diagramme circulaire, on a aussi l'impression que $\mathbb{P}_B(A_1)+\mathbb{P}_B(\overline{A_1})=\mathbb{P}(B)$, ce qui est faux d'après la formule des probabilités totales.
Cependant, ces deux résultats me paraissent incorrects et je ne vois pas où est l'erreur dans mon deuxième raisonnement. En réalité, je pense qu'un diagramme circulaire n'est pas une bonne méthode pour organiser les données car il induit en erreur. Si quelqu'un pouvait déblayer le terrain pour y voir plus clair. Merci.
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Réponses
Mais $\overline{A_1}$ désigne l'événement "non $A$", donc $P(\overline{A_1})=1-P(A_1)$, de plus, dans ton disque, $\overline{A_1}$ devrait être l'ensemble du disque privé du fragment $A_1$, enfin, dans ton arbre, $\overline{A_1}$ est mal placé, car $\overline{A_1}$ représente en fait toutes les possibilités qui ne sont pas $A_1$.
il y a une grande confusion entre probas et cardinaux (= nombre d'éléments). Il serait déjà bien d'apprendre la différence !!
Cordialement.
La probabilité traduit une fréquence d'apparition, imaginons que l'on ait une urne avec deux boules, et qu'en rentrant la main dans l'urne on note la boule que l'on touche en premier.
Si les deux boules sont de taille différente tu es d'accord qu'il est plus probable que l'on touche la plus grosse. Donc les probabilités sont pas 1/2 1/2, mais par exemple 1/3 2/3. C'est pourtant pas ce que l'on obtient avec les cardinaux. Pourquoi ? Et bien parce que la formule $P(A)=\frac{Card(A)}{Card(\Omega)}$ n'est valable qu'à condition que la loi de probabilité soit uniforme, ce qui n'est pas le cas si les boules ne font pas la même taille.