Transfert de régularité du bord d'un ouvert
Bonjour
Dans $\mathbb{R}^n$, ($n=2$ ou $3$), je considère un ouvert borné $\Omega$ dont le bord $\partial \Omega$ est de classe $C^k$ ($k$ entier). Étant donnée une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$, quelle régularité doit-elle avoir pour garantir que $\partial (f(\Omega))$ soit de classe $C^k$ ? En particulier doit-on imposer une régularité jusqu'au bord ? J'ai d'abord pensé que $f\ C^k$-difféo sur l'ouvert $\Omega$ pouvait suffire mais je crois que je me trompe... je précise que je ne m'y connais pas trop en théorie des variétés.
Merci d'avance !
Dans $\mathbb{R}^n$, ($n=2$ ou $3$), je considère un ouvert borné $\Omega$ dont le bord $\partial \Omega$ est de classe $C^k$ ($k$ entier). Étant donnée une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$, quelle régularité doit-elle avoir pour garantir que $\partial (f(\Omega))$ soit de classe $C^k$ ? En particulier doit-on imposer une régularité jusqu'au bord ? J'ai d'abord pensé que $f\ C^k$-difféo sur l'ouvert $\Omega$ pouvait suffire mais je crois que je me trompe... je précise que je ne m'y connais pas trop en théorie des variétés.
Merci d'avance !
Réponses
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f polynomiale est une hypothèse de régularité suffisante. Globalement, toutes les autres échouent, même la biholomorphie https://fr.wikipedia.org/wiki/Théorème_de_l'application_conforme .
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Ajout au message précédent.
Je corrige : si $f$ est polynomiale et bijective oui, sinon pas sûr ($f(\Omega)$ peut ne même pas être ouvert). Peu importe. En tout cas, l'hypothèse $C^k$ ou $C^{\infty}$ est insuffisante.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Merci pour l'info ! Auriez-vous une référence pour ce résultat ? Et si on suppose $f : \overline{\Omega} \rightarrow \mathbb{R}^n$ (donc définie aussi au bord), l'hypothèse $f \ C^k$-difféo entre $\overline{\Omega}$ et son image peut-elle cette fois-ci être suffisante ?
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Que veut dire être $C^k$ sur un fermé ? À ma connaissance, les fonctions $C^k$ sont définies sur des ouverts.
Ce que je peux dire c'est que, si $f$ est prolongeable $C^k$ sur un voisinage de $\overline{\Omega}$, alors $\partial (f(\Omega))$ est bien $C^k$. -
Merci ! Pour moi on peut tout à fait définir la notion de continuité sur un fermé. Il suffit d'utiliser la topologie usuelle "restreinte" (c'est peut-être pas le bon terme) au fermé.
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La continuité, oui, mais la différentiabilité ?
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Je reconnais que je n'avais jamais vraiment creusé la question. Du coup j'ai été regarder et ça existe bien, $u \in C^k(\overline{\Omega})$ signifie qu'il existe un ouvert $\tilde{\Omega}, \ \overline{\Omega} \subset \tilde{\Omega}$ et une fonction $\tilde{f} \in C^k(\tilde{\Omega})$ telle que $\tilde{f}|_{\overline{\Omega}} = f$.
En même temps le contraire m'aurait étonné, en analyse il y a plein de théorèmes qui utilisent ces espaces...
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