Solution de l'équation différentielle ?

evariste21
evariste21
dans Analyse
Bonjour
Problème.
Prouver que $\mathbb{R}\ni t\mapsto \sin(t^{5})$ ne peut pas être la solution de $$a_{4}x^{''''}+a_{3}x'''+a_{2}x''+a_{1}x'+a_{0}x=0, \quad a_{i}\in \mathbb{R}^{*},\ i \in \{0,\ldots,4\}.

$$ Pourriez-vous donner un argument rigoureux, en utilisant les théorèmes d'existence et d'unicité ?
Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    En remplaçant $x$ par $\sin(t^5)$ dans l'équation différentielle, on obtient une expression qui doit être nulle pour tout t, ce qui impose des conditions sur les $a_i$.

    Cordialement.

    NB : Je n'ai fait que traduire "est solution".
  • math2
    math2
    Pour moi, la méthode la plus simple est celle fournie par gerard0. D'ailleurs, on peut squeezer les calculs en se contentant de faire un développement limité à l'ordre $1$ (sans doute, puisque $a_4\not=0$) du membre de gauche lorsqu'on remplace $x(t)$ par l'expression proposée (rappel, là on peut dériver le DL, la fonction étant développable en série entière).

    Après, sur le principe on sait résoudre cette équation, et en particulier les solutions bornées d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants en sont les solutions quasi-périodiques (qui sont même dans ce cas des sommes finies de fonctions périodiques). On devrait pouvoir se convaincre que la fonction proposée n'est pas somme finie de fonctions périodiques.
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour

    Si $x(t)=\sin(t^5)$ est solution alors

    $\sum_{j=0}^4 a_j x^{(j)}(t)=0, \forall t\in \R$

    En dérivant, il vient $\sum_{j=0}^4 a_j x^{(j+1)}(t)=0, \forall t\in \R.$

    En particulier pour $t=0$ on obtient $120 a_4=0,$ ce qui est impossible d'après les hypothèses.
     
  • evariste21
    evariste21
    Merci
    En suivant vos suggestions, je suis arrivé ici.

    Si $x(t)=\sin t^{5}$, est une solution, alors
    • $x^{(4)}(t)=(120 t-3000t^{11})\cos t^{5}+(625t^{16}-2400t^{6})\sin t^{5}$.
    • $x^{(3)}(t)=(60t^{2}-125t^{12})\cos t^{5}+(-300 t^{7})\sin t^{5}$.
    • $x^{(2)}(t)=(20t^{3})\cos t^{5}+(-25t^{8})\sin t^{5}$.
    • $x^{(1)}(t)=0\sin t^{5}+(5t^{4})\cos t^{5}$.
    • $x(t)=\sin t^{5}+0\cos t^{5}$.
    et en remplaçant maintenant dans l'équation différentielle $(*)$,
    $$a_{4}x^{(4)}+a_{3}x^{(3)}+a_{2}x^{(2)}+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0, \quad a_{4}\not=0. \quad (*)
    $$ et en réparant les calculs, je trouve
    $$(-3000a_{4}t^{11}+120a_{4} t-125a_{3}t^{12}+60a_{3}t^{2}+20a_{2}t^{3}+5a_{1}t^{4})\color{blue}{\cos t^{5}}+(625a_{4}t^{16}-2400a_{4}t^{6}-300a_{3}t^{7}-25a_{2}t^{8}+a_{0})\color{blue}{\sin t^{5}}=0.

    $$ Alors $120a_{4}=0 \implies a_{4}=0$, contradiction.
    C'est ce que vous avez écrit @bd2017 ?
  • evariste21
    evariste21
    Comment pourriez-vous expliquer la raison pour laquelle A n'est pas une solution de l'équation différentielle, sans avoir à faire tous les calculs de mon post précédent ? Je n'ai pas compris @math2 dans la deuxième partie. Est-il possible d'analyser théoriquement le problème par une étude qualitative de l'équation différentielle ? Par exemple, je sais que nous pouvons répondre à cette même question en utilisant la formule d'Abel pour les équations différentielles à coefficients variables. Existe-t-il une façon similaire de procéder pour ce problème?
  • bd2017
    bd2017
    Il n'y a pas de calcul à faire puisque voisinage de $0$ on a $\sin(t^5)=t^5+o(t^5)$
    Donc en dérivant la relation vérifiée par $x(t)$ on a en $t=0$
    $120 a_4=0.$

    Pourquoi chercher plus compliqué?
     
  • evariste21
    evariste21
    @bd2017 : Vous avez raison. Je rendais les choses trop compliquées. Merci :-)
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Après avoir relu ta question tu peux bien entendu utiliser le th d'existence et d'unicité.

    Puisque $a_4\neq 0$ l'équation différentielle linaire à coefficients constants admet une unique solution sur $\R$
    qui vérifie $x(0)=a,x'(0)=b, x''(0)=c$ et $x'''(0)=d$

    $x(t)=\sin(t^5)$ ne peut être solution car on aurait $a=b=c=d=0$ et cela contredirait l'unicité (car $x(t)=0$ est solution avec $a=b=c=d=0$)

    Mais ça revient au même car il suffit de voir que $x(0)=x(0)=x''(0)=x'''(0)=0$
     
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