Solution de l'équation différentielle ?
dans Analyse
Bonjour
Problème.
Prouver que $\mathbb{R}\ni t\mapsto \sin(t^{5})$ ne peut pas être la solution de $$a_{4}x^{''''}+a_{3}x'''+a_{2}x''+a_{1}x'+a_{0}x=0, \quad a_{i}\in \mathbb{R}^{*},\ i \in \{0,\ldots,4\}.
$$ Pourriez-vous donner un argument rigoureux, en utilisant les théorèmes d'existence et d'unicité ?
Merci.
Problème.
Prouver que $\mathbb{R}\ni t\mapsto \sin(t^{5})$ ne peut pas être la solution de $$a_{4}x^{''''}+a_{3}x'''+a_{2}x''+a_{1}x'+a_{0}x=0, \quad a_{i}\in \mathbb{R}^{*},\ i \in \{0,\ldots,4\}.
$$ Pourriez-vous donner un argument rigoureux, en utilisant les théorèmes d'existence et d'unicité ?
Merci.
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Réponses
En remplaçant $x$ par $\sin(t^5)$ dans l'équation différentielle, on obtient une expression qui doit être nulle pour tout t, ce qui impose des conditions sur les $a_i$.
Cordialement.
NB : Je n'ai fait que traduire "est solution".
Après, sur le principe on sait résoudre cette équation, et en particulier les solutions bornées d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants en sont les solutions quasi-périodiques (qui sont même dans ce cas des sommes finies de fonctions périodiques). On devrait pouvoir se convaincre que la fonction proposée n'est pas somme finie de fonctions périodiques.
Si $x(t)=\sin(t^5)$ est solution alors
$\sum_{j=0}^4 a_j x^{(j)}(t)=0, \forall t\in \R$
En dérivant, il vient $\sum_{j=0}^4 a_j x^{(j+1)}(t)=0, \forall t\in \R.$
En particulier pour $t=0$ on obtient $120 a_4=0,$ ce qui est impossible d'après les hypothèses.
En suivant vos suggestions, je suis arrivé ici.
Si $x(t)=\sin t^{5}$, est une solution, alors
- $x^{(4)}(t)=(120 t-3000t^{11})\cos t^{5}+(625t^{16}-2400t^{6})\sin t^{5}$.
- $x^{(3)}(t)=(60t^{2}-125t^{12})\cos t^{5}+(-300 t^{7})\sin t^{5}$.
- $x^{(2)}(t)=(20t^{3})\cos t^{5}+(-25t^{8})\sin t^{5}$.
- $x^{(1)}(t)=0\sin t^{5}+(5t^{4})\cos t^{5}$.
- $x(t)=\sin t^{5}+0\cos t^{5}$.
et en remplaçant maintenant dans l'équation différentielle $(*)$,$$a_{4}x^{(4)}+a_{3}x^{(3)}+a_{2}x^{(2)}+a_{1}x^{(1)}+a_{0}x=0, \quad a_{4}\not=0. \quad (*)
$$ et en réparant les calculs, je trouve
$$(-3000a_{4}t^{11}+120a_{4} t-125a_{3}t^{12}+60a_{3}t^{2}+20a_{2}t^{3}+5a_{1}t^{4})\color{blue}{\cos t^{5}}+(625a_{4}t^{16}-2400a_{4}t^{6}-300a_{3}t^{7}-25a_{2}t^{8}+a_{0})\color{blue}{\sin t^{5}}=0.
$$ Alors $120a_{4}=0 \implies a_{4}=0$, contradiction.
C'est ce que vous avez écrit @bd2017 ?
Donc en dérivant la relation vérifiée par $x(t)$ on a en $t=0$
$120 a_4=0.$
Pourquoi chercher plus compliqué?
Après avoir relu ta question tu peux bien entendu utiliser le th d'existence et d'unicité.
Puisque $a_4\neq 0$ l'équation différentielle linaire à coefficients constants admet une unique solution sur $\R$
qui vérifie $x(0)=a,x'(0)=b, x''(0)=c$ et $x'''(0)=d$
$x(t)=\sin(t^5)$ ne peut être solution car on aurait $a=b=c=d=0$ et cela contredirait l'unicité (car $x(t)=0$ est solution avec $a=b=c=d=0$)
Mais ça revient au même car il suffit de voir que $x(0)=x(0)=x''(0)=x'''(0)=0$