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Graphe fermé

Bonjour.

En lisant le livre d'optimisation de Bonnans je suis tombé sur cette propriété :

"Une fonction d'un espace normé $X$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ est continue ssi son graphe est fermé"

Nous sommes d'accord pour dire que c'est une erreur ?
Je vous remercie.

Réponses

  • Je ne me souviens plus si dans $\mathbb{R}^2$ une union dénombrable de fermés disjoints est fermée. Réflexion faite $\mathbb{Q}^2$ est union dénombrable de singletons dans $\mathbb{R}^2$ et n'est pas fermé dans $\mathbb{R}^2$ mais le graphe de la fonction tangente a bien l'air d'être un fermé de $\mathbb{R}^2$.
  • Non en effet, par exemple le carré unité ouvert peut s'écrire comme limite dénombrable de carrés fermés croissants.
    Je suis d'accord, par exemple la fonction inverse à laquelle on aurait donné une valeur arbitraire en 0 convient.
  • Et si l'application est linéaire ?
  • Ce résultat me rappelle vaguement un théorème du graphe fermé mal énoncé (il manque en effet la linéarité).
  • Il faudrait de la complétude sur X de toute façon. Evidemment il n'est pas question de linéarité.

    Il est énoncé en même temps que "une fonction de X dans R est sci ssi son épitaphe est fermé". Peut-être une envie d'être "trop gourmand" mélangé à une étourderie ?
  • L'ambiance est devenue sordide soudainement...
  • Mon correcteur doit aimer King crimson.
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