Calcul intégral

Hamidou2345
Hamidou2345
dans Analyse
Bonjour tout le monde et merci d’avance pour ce qui vont le lire.
Ça fait quelques heures que j’essaie de faire un calcul intégral qui est :
$$\int_{0}^{1}{\ln(1+\sqrt{x^2 +1})dx}

$$ Par une intégration par partie j’ai trouvé :
$\ln(1+\sqrt{2}) - \int_{0}^{1}{x^2/(x^2 +1 + \sqrt{x^2 +1})dx}.$
À partir de là j’ai essayé beaucoup de choses (changement de variable avec $u = \sqrt{x^2 +1}$, ou encore $u = x^2 $) enfin en somme je sens que je ne suis pas loin, c’est peut-être une illusion de croire ça possible, mais $argsinh(x)$ a pour dérivée $1/\sqrt{x^2 +1}$, j’ai même posé $t= argsinh(x)$, je voulais prendre ça comme nouveau point de départ, mais je reste quand même bloqué si je fais une autre intégration par partie !
Merci d’avoir lu le message malgré la mauvaise qualité d’expression et merci pour tout indices que vous pouvez donner !

Réponses

  • Amédé
    Amédé
    $x\longmapsto \ln(1+\sqrt{1+x^{2}})$ est une primitive de $x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$.
    Edit il faut mettre un $x$ à la place du $1$ dans le logarithme : $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$.

    Une IPP marche très bien avec $u'=1$ et $v=\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})$.
  • Hamidou2345
    Hamidou2345
    Ça aurait été trop beau si c’était ln(x+sqrt(x^2 +1))
  • Quentino37
    Quentino37
    Hamidou, mets un dollar $ en balise pour que ça soit plus facilement lisible :-) encore mieux tu fais dollar \displaystyle blabbla puis dollar ou sinon tu fais "dollar dollar" en balise (au début et à la fin) pour sauter une ligne :)
    Je suis donc je pense 
  • Hamidou2345
    Hamidou2345
    Merci beaucoup quentino
  • Quentino37
    Quentino37
    :-) Et sinon tu n'es pas obligé de mettre des parenthèses :-)
    Je suis donc je pense 
  • Amédé
    Amédé
    Pour la primitive, tu fais l'IPP que tu as faite : $\displaystyle{\int{\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})}=x\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})-\int{\dfrac{x^{2}}{\sqrt{1+x^{2}}\left(1+\sqrt{1+x^{2}}\right)}dx}}$.

    Tu peux remarquer que $x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ est la dérivée de $x\longmapsto Argsh(x)$. Il faut faire un certain changement de variable dans la deuxième intégrale. En l’occurrence ton $t=Argsh(x)$ était une bonne idée et cela donne $x=\sinh(t)$ et là le résultat devrait tomber tout seul.
  • malavita
    malavita
    Salut,

    après quand on a du $\sqrt{x^2+1}$, on peut toujours tenter un $x=sh(t)$ -;)

    A+

    F.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    Bonjour
    le changement de variable x = \sinh(t) donc $dx = \cosh tdt$ donne une intégrale I :
    $$I= \int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\cosh t\ln(1+\cosh t).dt
    $$ on intègre par parties avec $u = \ln(1+\cosh t)$ et donc $du = \sinh t/(1+\cosh t)dt$
    $dv = \cosh t dt$ donc $v = \sinh t$ et l'intégrale $I$ devient l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t)$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$ moins $\int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\frac{\sinh^2t}{1+\cosh t}dt$.
    Soit encore l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t) - \sinh t + t$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$.
    soit finalement $$2\ln(1+\sqrt{2}) - 1$$ égal à $0,762747174\ldots$
    Ce que confirme le calcul direct de l'intégrale sur la calculatrice.
    Cordialement.
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