Transfert de régularité du bord d'un ouvert
Bonjour
Dans $\mathbb{R}^n$, ($n=2$ ou $3$), je considère un ouvert borné $\Omega$ dont le bord $\partial \Omega$ est de classe $C^k$ ($k$ entier). Étant donnée une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$, quelle régularité doit-elle avoir pour garantir que $\partial (f(\Omega))$ soit de classe $C^k$ ? En particulier doit-on imposer une régularité jusqu'au bord ? J'ai d'abord pensé que $f\ C^k$-difféo sur l'ouvert $\Omega$ pouvait suffire mais je crois que je me trompe... je précise que je ne m'y connais pas trop en théorie des variétés.
Merci d'avance !
Dans $\mathbb{R}^n$, ($n=2$ ou $3$), je considère un ouvert borné $\Omega$ dont le bord $\partial \Omega$ est de classe $C^k$ ($k$ entier). Étant donnée une fonction $f:\Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$, quelle régularité doit-elle avoir pour garantir que $\partial (f(\Omega))$ soit de classe $C^k$ ? En particulier doit-on imposer une régularité jusqu'au bord ? J'ai d'abord pensé que $f\ C^k$-difféo sur l'ouvert $\Omega$ pouvait suffire mais je crois que je me trompe... je précise que je ne m'y connais pas trop en théorie des variétés.
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Réponses
Je corrige : si $f$ est polynomiale et bijective oui, sinon pas sûr ($f(\Omega)$ peut ne même pas être ouvert). Peu importe. En tout cas, l'hypothèse $C^k$ ou $C^{\infty}$ est insuffisante.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
Ce que je peux dire c'est que, si $f$ est prolongeable $C^k$ sur un voisinage de $\overline{\Omega}$, alors $\partial (f(\Omega))$ est bien $C^k$.
En même temps le contraire m'aurait étonné, en analyse il y a plein de théorèmes qui utilisent ces espaces...