Calcul intégral
dans Analyse
Bonjour tout le monde et merci d’avance pour ce qui vont le lire.
Ça fait quelques heures que j’essaie de faire un calcul intégral qui est :
$$\int_{0}^{1}{\ln(1+\sqrt{x^2 +1})dx}
$$ Par une intégration par partie j’ai trouvé :
$\ln(1+\sqrt{2}) - \int_{0}^{1}{x^2/(x^2 +1 + \sqrt{x^2 +1})dx}.$
À partir de là j’ai essayé beaucoup de choses (changement de variable avec $u = \sqrt{x^2 +1}$, ou encore $u = x^2 $) enfin en somme je sens que je ne suis pas loin, c’est peut-être une illusion de croire ça possible, mais $argsinh(x)$ a pour dérivée $1/\sqrt{x^2 +1}$, j’ai même posé $t= argsinh(x)$, je voulais prendre ça comme nouveau point de départ, mais je reste quand même bloqué si je fais une autre intégration par partie !
Merci d’avoir lu le message malgré la mauvaise qualité d’expression et merci pour tout indices que vous pouvez donner !
Ça fait quelques heures que j’essaie de faire un calcul intégral qui est :
$$\int_{0}^{1}{\ln(1+\sqrt{x^2 +1})dx}
$$ Par une intégration par partie j’ai trouvé :
$\ln(1+\sqrt{2}) - \int_{0}^{1}{x^2/(x^2 +1 + \sqrt{x^2 +1})dx}.$
À partir de là j’ai essayé beaucoup de choses (changement de variable avec $u = \sqrt{x^2 +1}$, ou encore $u = x^2 $) enfin en somme je sens que je ne suis pas loin, c’est peut-être une illusion de croire ça possible, mais $argsinh(x)$ a pour dérivée $1/\sqrt{x^2 +1}$, j’ai même posé $t= argsinh(x)$, je voulais prendre ça comme nouveau point de départ, mais je reste quand même bloqué si je fais une autre intégration par partie !
Merci d’avoir lu le message malgré la mauvaise qualité d’expression et merci pour tout indices que vous pouvez donner !
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Réponses
Edit il faut mettre un $x$ à la place du $1$ dans le logarithme : $\ln(x+\sqrt{1+x^{2}})$.
Une IPP marche très bien avec $u'=1$ et $v=\ln(1+\sqrt{1+x^{2}})$.
Tu peux remarquer que $x\longmapsto\dfrac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ est la dérivée de $x\longmapsto Argsh(x)$. Il faut faire un certain changement de variable dans la deuxième intégrale. En l’occurrence ton $t=Argsh(x)$ était une bonne idée et cela donne $x=\sinh(t)$ et là le résultat devrait tomber tout seul.
après quand on a du $\sqrt{x^2+1}$, on peut toujours tenter un $x=sh(t)$ -;)
A+
F.
le changement de variable x = \sinh(t) donc $dx = \cosh tdt$ donne une intégrale I :
$$I= \int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\cosh t\ln(1+\cosh t).dt
$$ on intègre par parties avec $u = \ln(1+\cosh t)$ et donc $du = \sinh t/(1+\cosh t)dt$
$dv = \cosh t dt$ donc $v = \sinh t$ et l'intégrale $I$ devient l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t)$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$ moins $\int_0^{\ln(1+\sqrt{2})}\frac{\sinh^2t}{1+\cosh t}dt$.
Soit encore l'expression $\sinh t\ln(1+\cosh t) - \sinh t + t$ à calculer entre $0$ et $\ln(1+\sqrt{2})$.
soit finalement $$2\ln(1+\sqrt{2}) - 1$$ égal à $0,762747174\ldots$
Ce que confirme le calcul direct de l'intégrale sur la calculatrice.
Cordialement.