Fonction plateau
Bonjour,
Après 3 semaines sans maths, j'ai voulu tester mes capacités sur ces questions. Je me demande si ce que j'ai fait à la première question est correct :-S
Question 27 :
Montrons par récurrence que $\forall k \in \N \ \exists P_k \in \R[X] \ \ \forall t>0 \ \ \varphi^{(k)}(t)=P_k (1/t)e^{-1/t}$
Il suffit de prendre $\boxed{P_{k+1}=P_k ' -P_k}$ qui est bien un polynôme de $\R[X]$ comme différence de deux polynômes.
Soit $k \in \N$. Pour montrer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ il suffit de montrer que $\varphi^{(k)}$ est de classe $C^k$.
Il reste à montrer que $\varphi^{(k)}$ est continue. C'est évident vu l'expression de $\varphi^{(k)}$.
Après 3 semaines sans maths, j'ai voulu tester mes capacités sur ces questions. Je me demande si ce que j'ai fait à la première question est correct :-S
Question 27 :
Montrons par récurrence que $\forall k \in \N \ \exists P_k \in \R[X] \ \ \forall t>0 \ \ \varphi^{(k)}(t)=P_k (1/t)e^{-1/t}$
- Au rang $k=0$, il suffit de prendre $P_0 =1$
- Supposons la propriété vraie au rang $k$.
On a $\forall t>0$, $\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} - \dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$
D'où $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2} ( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}}$
Il suffit de prendre $\boxed{P_{k+1}=P_k ' -P_k}$ qui est bien un polynôme de $\R[X]$ comme différence de deux polynômes.
Soit $k \in \N$. Pour montrer que $\varphi$ est de classe $C^{\infty}$ il suffit de montrer que $\varphi^{(k)}$ est de classe $C^k$.
Il reste à montrer que $\varphi^{(k)}$ est continue. C'est évident vu l'expression de $\varphi^{(k)}$.
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Réponses
Il y a un problème de signe dans ta dérivation, et ton "c'est évident" mérite des explications, on veut montrer que la fonction en question est continue sur $\mathbb R$, pas seulement $]0, +\infty[$.
Ta formule donnant $P_{k+1}$ est fausse.
Oui j'ai fait une erreur de calcul. Je rectifie : $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)= \dfrac{1}{t^2} \left( P_k(1/t)-P_k '(1/t) \right) e^{-1 /t}}$
Il suffit donc de prendre $\boxed{P_{k+1}(X)=X^2 (P_k (X)- P_k '(X)) \in \R[X] }$.
@Poirot
Oui mon raisonnement est valable pour $t>0$.
Je cherche à calculer $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varphi^ {(k)} (t)$ et $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \varphi^ {(k+1)} (t)$ mais je n'y arrive pas.
On sait que $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} e^{-1/t}=0$ mais comment trouver $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} P_k(1/t)$ ?
Pour $\varphi^{(k+1)}(t)$ il y a une forme indéterminée $0 \times \infty$
Que s’y passe-t-il ?
Je viens de modifier mon message. Oui c'est le recollement en $0$ qui nous intéresse.
Pour $t>0$, on a $\varphi'(t)= \dfrac{1}{t^2} e^{-1/t} = \dfrac{1} { t^2 e^{1/t} }$
Comme $\lim\limits_{t \rightarrow 0^{+}} \dfrac{1}{t} = + \infty$ on a $\boxed{\lim\limits_{t \rightarrow +\infty} \varphi'(t)=0}$
Je ne vois pas comment se débarrasser de la forme indéterminée même pour $\varphi'$
Après cette pause estivale, tu pourrais pas repartir sur de bonnes résolutions ? Genre j’apprends mon cours, je fais des exos de lycée, j’essaye déjà de faire les cas particuliers simples avant de généraliser… déjà tout ça mis en défaut en si peu de posts.
On pose $X=1/t$ et quand $t$ tend vers $0$ par valeurs supérieures, $X$ tend vers $+\infty$ donc $\varphi'(t)=\dfrac{X^2}{e^X}$. Par croissances comparées, $\dfrac{e^X}{X^2} \longrightarrow + \infty$ donc $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \varphi'(t)=0$
J'ai utilisé la propriété : pour tous $a,b >0$, $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \dfrac{e^{ax}}{x^b}= + \infty$
Alors $P_k(1/t)=a_n (\dfrac{1}{t})^n + \cdots + a_1 (\dfrac{1}{t})+a_0$
Quand $t$ tend vers $0^ +$ alors on pose $X=1/t$ qui tend vers $+ \infty$
On a au voisinage de $+\infty$ : $P_k(1/t) \sim a_n X^n$
Donc $\varphi ^{(k)} (t) \sim \dfrac{ a_n X^n }{e^X}$ et par croissances comparées $\lim\limits_{X \rightarrow +\infty} \dfrac{ a_n X^n }{e^X}=0$
Donc $\boxed{ \lim\limits_{t \rightarrow 0^ + } \varphi ^{(k)} (t) =0}$
A présent, on a : $P_k(X)-P_k '(X)=a_n X^n + \cdots + b_1 X+b_0$
Avec le même changement de variable on obtient $\varphi ^{(k+1)} (t) \sim \dfrac{a_n X^{n+2} }{e^X}$ et on conclut de même que précédemment par croissances comparées.
Enfin : $\boxed{ \lim\limits_{t \rightarrow 0^ + } \varphi ^{(k+1)} (t) =0}$
D'après le théorème de la limite de la dérivée, $\varphi$ est de classe $C^k$ pour tout $k \in \N$, elle est donc de classe $C^{\infty}$ sur $\R$.
Est-ce correct pour cette question 27 ?
Montrons que $\forall t \in \R \ \psi(t)= \varphi(1-t^2)$
$\psi$ est $C^{\infty}$ sur $\R$ par composition de fonctions $C^{\infty}$ car l'application $t \mapsto 1-t^2$ est clairement $C^{\infty}$ sur $\R$.
Je ne comprends pas la question $29$ :-S
Sinon, c'est bien.
Je ne sais pas quelle partie de la question 29 tu ne comprends pas, je vais supposer que c'est la première. Si $f$ est continue, quelles sont les primitives de $f$ ? Quelle est l'unique primitive de $f$ s'annulant en $0$ ?
Ce n'est pas un théorème qui me dit quelque chose. Pour moi tu n'as rien démontré. Il serait bien mieux de faire une démonstration explicite plutôt que d'évoquer un théorème créé par ton professeur pour une raison pragmatique.
Ou alors si tu appliques un théorème que tu as vu en cours, cite le de façon explicite.
@Grenouille factorielle. J'ai beau relire mais je ne vois pas pourquoi tu dis que c'est bien.
Mis à part que @Os évoque un certain théorème sans le citer, comment montre-t-il que $\varphi$ est de classe $\cal{C} ^{\infty}$?
En effet, si c'est valable pour tout $k$ c'est valable pour $k+1$.
@Bd2017
Le voici. Je l'ai souvent utilisé, ça évite de calculer le taux d'accroissement.
Par définition $\forall x \in \R \ \theta(x)= \displaystyle\int_{0}^x \psi(t) dt$. $\theta$ est une primitive, elle est dérivable.
Donc $\theta '(x)= \psi(x)$. Mais $\psi$ est $C^{\infty}$ donc $\theta'$ est $C^{\infty}$. On en déduit que $\theta$ est $C^{\infty}$.
Montrons que $\theta$ est constante sur $]-\infty,-1]$.
Montrons que $A \ne B$. Je bloque ici :-S
Pour la 29, un dessin vaut mieux qu'un long discours (et non, ce n'est pas un chapeau !).
Faire un dessin, parmi les résolutions à prendre que je citais, c'était à peu près la seule qui manquait.
Le voici.
Voici le graphe de $\psi$ mais je ne vois pas comment tracer $\theta$.
@Alexique
En effet.
Sur $]-\infty,-1]$, $\theta$ est constante égale à $A$.
Sur $]-1,1[$, $\theta$ est strictement croissante car $\forall t \in ]-1,1[$, on a $e^{1/(t^2-1)} >0$
Sur $[1,+\infty[$, $\theta$ est constante égale à $B$.
On a donc d'après le tableau de variations de $\theta$ que : $A <B $ et donc $A \ne B$.
@Polka
Collège.
Je ne vois pas trop le rapport avec ce qui précède.
Il va falloir faire des dessins, te creuser la tête...
@Os, Ok pour le théorème.
Je me doutais bien que la situation rencontrée étant fréquente qu'on en fasse un "théorème". D'ailleurs c'est un peu fort d'appeler ce résultat "théorème". Mais surtout je ne pense pas "que le théorème de la limite de la dérivée" est connu par beaucoup de monde. (Je ne parle pas du résultat mais de la dénomination de ce résultat).
Comme dit par @Alexique, un dessin est nécessaire.
Mais avant, il serait utile (mais pas absolument nécessaire) de remarquer que $\theta$ est impaire (donc $A=-B$ )
Pour t'aider voici les premières étapes.
1. Fait un dessin pour $\theta$ sur $]-\infty,3]$
2. Faire une translation de $\theta$ (i.e du graphe de $\theta$ restreint à $]-\infty,3]$) de sorte la nouvelle fonction (on va l'appeler $h_1$ soit définie sur $]-\infty,0]$
3. Fais un dessin de $h_1$ et commence à réfléchir à ce qu'il faut faire à $h_1$ pour répondre au critère demandé sur $]-\infty,0]$
Ok merci Bd2017, je repars en vacances mais je vais tenter d'y réfléchir et de répondre à tes questions intermédiaires, je ne suis pas pressé.
Mais bon je ne connais pas ce "théorème" et ce n'est pas un problème pour moi. B-).
La fonction $\rho$ est une fonction de troncature qui sert à localiser les régularités.... je suis curieux de voir la suite du problème...
Bonnes vacances @Oshine....
j'ai toujours un problème avec le calcul de $\varphi^{(k+1)}(t)$
Pour $t>0$ on a $\varphi^{(k}(t)=p_k(1/t)\exp(-1/t)$
Donc $\varphi^{(k+1)}(t)=\exp(-1/t)\dfrac{p_k(1/t)-p'_k(1/t)}{t^2} $
Posons $p_{k+1}(x)=x^2(p_k(x)-p_k'(x).$ Alors $p_{k+1}$ est un polynôme (dont le degré est celui de $p_k$ augmenté de 2 ) et on a bien
$$
\varphi^{(k+1}(t)=\exp(-1/t) p_{k+1}(1/t).$$
On a $\forall t>0$, $\varphi^{(k+1)}(t)=-
\dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} -
\dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$
D'où $\boxed{\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2}
( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}}$
Quand je met $-
\dfrac{1}{t^2} e^{-1/t}$ en facteur j'ai une somme dans la parenthèse non?
$\varphi^{(k+1)}(t)=-
\dfrac{1}{t^2} P_k '(1/t) e^{-1/t} -
\dfrac{1}{t^2} P_k (1/t)e^{-1/t}$
à ça:
$\varphi^{(k+1)}(t)=- \dfrac{1}{t^2}( P_k '(1/t) - P_k (1/t) ) e^{-1/t}$.
J'avais mal précisé.
La fin du sujet s'en sert pour lisser la convolution il me semble (je joins la fin du sujet, comme plusieurs personnes ont demandé d'où cela venait).
Sinon laisse tomber.