Un exercice avec la partie entière
dans Arithmétique
Bonjour
J’ai fait quelques démarches dans cet exercice, mais je n’ai pas pu aboutir au résultat demandé. Je vous prie de m’aider.
Si x, y, z et t sont 4 réels tels que : [nx]+[ny]=[nz]+[nt] pour tout n non nul de IN, montrer qu’au moins x+y, x-z, x-t est un entier.
Au début, j’ai cru qu’il y avait une erreur de signe dans l’énoncé, mais on m’a confirmé que tout est correct.
De mon côté, j’ai pu montrer que forcément x+y=z+t . Donc si x+y est un entier, c’est terminé, sinon, c’est là où je dois prouver que x-z ou x-t est un entier.
Merci beaucoup.
J’ai fait quelques démarches dans cet exercice, mais je n’ai pas pu aboutir au résultat demandé. Je vous prie de m’aider.
Si x, y, z et t sont 4 réels tels que : [nx]+[ny]=[nz]+[nt] pour tout n non nul de IN, montrer qu’au moins x+y, x-z, x-t est un entier.
Au début, j’ai cru qu’il y avait une erreur de signe dans l’énoncé, mais on m’a confirmé que tout est correct.
De mon côté, j’ai pu montrer que forcément x+y=z+t . Donc si x+y est un entier, c’est terminé, sinon, c’est là où je dois prouver que x-z ou x-t est un entier.
Merci beaucoup.
Réponses
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Tu peux voir par limite à droite et à gauche que si $nx$ est entier, et pas $ny$, alors soit $nz$ soit $nt$ doit l'être aussi.
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Ceci dit, il me semble qu'il y a une erreur de signe, je pense que c'est $x-y$ et non $x+y$, sinon, en prenant $x=y=3/4$ et $z=1/4$, $t=5/4$, on a un contre-exemple.
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Non, c'est bien $x+y$, le contre-exemple de Frédéric Bosio ne vérifie pas l'égalité pour $n=1$
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Désolée, mais je ne vois toujours pas comment utiliser cela.
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Je suis en train d’essayer le raisonnement par absurde, certainement la contradiction proviendra d’un choix spécial pour n , mais je ne vois toujours pas comment faire.
Merci. -
Bonjour,
J’ai su par la suite que c’est un problème d’olympiades très compliqué, donc je laisse tomber.
Merci pour votre aide. -
Justement ... Plus c'est compliqué plus c'est génial
Faut surtout pas laisser tomber...Je suis donc je pense
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Bonjour!
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