La feuille A4 pliée
dans Géométrie
Bonjour à toutes et à tous !
Bon bah j'ai de la misère...
On plie une feuille A4 (en pièce jointe la feuille A4 qu'on plie) de manière à ramener le coin supérieur gauche B sur la bord inférieur OA. Quelle est la longueur du pli CD ? On connait a = OA, b = OB et t = OT. Il faut calculer CD.
Pas trop de soucis pour moi pour le faire aves les outils de niveau Terminale avec Pythagore, sin, une ou deux équations du second degré et des changements de variables évidents mais voilà, ma nièce me dit que "c'est un exercice niveau 3eme et qu'on est censé le faire uniquement avec Thalès et Pythagore".
Et là, je sèche .. Auriez-vous une idée ?
Merci et cordialement ;
Didier.
Bon bah j'ai de la misère...
On plie une feuille A4 (en pièce jointe la feuille A4 qu'on plie) de manière à ramener le coin supérieur gauche B sur la bord inférieur OA. Quelle est la longueur du pli CD ? On connait a = OA, b = OB et t = OT. Il faut calculer CD.
Pas trop de soucis pour moi pour le faire aves les outils de niveau Terminale avec Pythagore, sin, une ou deux équations du second degré et des changements de variables évidents mais voilà, ma nièce me dit que "c'est un exercice niveau 3eme et qu'on est censé le faire uniquement avec Thalès et Pythagore".
Et là, je sèche .. Auriez-vous une idée ?
Merci et cordialement ;
Didier.
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Réponses
On peut essayer avec des triangles semblables peut être.
Domi
On travaille avec les angles.
On a $\theta$ l'angle $OTC.$
Par pliage, on a $\alpha$ l'angle $BCD$ est aussi l'angle $DCT.$ On en déduit : $\alpha = {\pi\over 4} - {\theta\over 2}.$
De même, l'angle en $D$... et alors $\alpha$ est l'angle $CDA.$
On calcule alors $\tan \alpha = {OA \over DC}$ et comme $\tan \alpha = {1 - \tan {\theta\over 2} \over 1+\tan {\theta\over 2}}$ il suffit d'exprimer $\tan {\theta\over 2}.$
On calcule dans le triangle $COT$ rectangle en $O$ et on trouve : $OC = {OB^2-OT^2 \over 2 OB}$ et $\tan \theta = {OC \over OT} = {2 \tan {\theta\over 2} \over 1-\tan^2 {\theta\over 2}}.$
On tire $\tan {\theta\over 2}$ de l'équation du second degré et on reporte.
En observant le schéma on se rend compte que $BC = CT$ que l’on peut voir comme un cercle centré sur $C$, et le centre de ce cercle n’est rien d’autre de l’intersection de la médiatrice $BT$ avec $OB$ (la médiatrice de deux points d’un cercle passera toujours par le centre de ce cercle).
De plus la notation en $O,A,B$ laisse supposer que le problème doit se résoudre dans un plan Cartésien.
$CD=\dfrac{OA\cdot BT}{OB}$
Bien cordialement. Poulbot
So $\dfrac{CD}{BT}=\dfrac{D^{\prime }D}{OB}=\dfrac{OA}{OB}$
Bien cordialement. Poulbot
Ou bien en trouvant $DT$ de deux façons dans les triangles $DFT$ et $DAT$.
Edit en fait sans trouver $x$ on pourrait avec $y=f(x,a,b,t)$ suivre la remarque de poulbot avec les deux triangles semblables...
Edit 2 Une deuxième fois la première idée n'est pas très faisable. (Je m'excuse).
En trouvant $DT$ de deux manières différentes par Pythagore dans $DAT$ et $DFT$
$ED=DF=y$ et $FT=a$ on aura $y=\dfrac{b^2-a^2+(a-t)^2}{2b}$. Puis $$Aire(CBED)=\dfrac{(y+b-x)a}{2}=\dfrac{ya}{2}+\dfrac{(x+b-y)a}{2}-\dfrac{xt}{2}-\dfrac{(a-t)(b-y)}{2}$$
On trouve $x=\dfrac{ab-tb+ty}{2a-t}$.
Cordialement
Pas moyen de choisir $T$ de façon à faire intervenir une caractéristique du format A4, à savoir que les proportions de la feuille sont conservées lorsqu'on la coupe en deux parts égales dans le sens de la longueur ?
$B$ et $T$ sont symétriques par rapport à la droite $CD$
Bien cordialement. Poulbot
Autre question : quel est le lieu du point $F$ (voir la figure de Tonm) lorsque $T$ varie sur le segment $[OA]$ ?
- ABCD est un carré
- FGHI est un rectangle
- FI = 3 cm et IH = 10 cm
- On note x la longueur DE.
Il faut déterminer la longueur des côtés du carré ABCD.
Pour le dernier problème d'Arnaud je crois qu'il est faisable par une équation des aires de deux manières différentes. On peut même énoncer un problème plus général mais c'est calculatoire.
Si vous voulez $ABCE$ trapèze rectangle en $B$ et $C$. $F$ le projeté orthogonale de $B$ sur $AE$.
Par Pythagore calculer $BF$, $FA$ et $FE$ en fonction des côtés du trapèze.
$(IH)//(FB)$ ($F\in [AE]$, $H\in [BC]$) avec $FI=d$ exprimer $IH$ en fonction de $d$ et les côtés du trapèze. J'essaierai ceci après.
C’est même prouvable avec le seul théorème de la somme des mesures d’angles d’un triangle.
Un peu de poésie en mathématique ...
Bien cordialement
JLB
Puis une deuxième pour trouver $BH$ en fonction de $x$, $BH=9x-10\sqrt{10}$ et enfin l'équation suivante (troisième)
$$Aire(IFBH)+Aire(AFB)+Aire(IEH)+Aire(HEC)+Aire(ADE)=9x^2$$ et on trouve $x=0$ ou $x=x_1$.
Et avec la figure de Ludwig on peut se poser quel est le rapport de la longueur sur la largeur d'un tel rectangle.
Cordialement.
Peut-on, en partant du seul fait qu'une feuille format $A4$ est semblable à sa moitié (prise dans la longueur), expliquer de façon simple que le rapport longueur sur largeur d'une telle feuille est égal à $\sqrt{2}$ ? Autrement que par la méthode habituelle, basée sur des calculs littéraux pas si faciles que ça, en tous cas pour un collégien lambda. Le pliage ci-dessous pourrait aider ?
Une petite remarque aussi : par définition le format rectangulaire $A0$ à une aire de $1$ $m^2$ et le rapport de sa longueur à sa largeur vaut $\sqrt{2}$. Les formats $A$ suivants en découlent en coupant les feuilles en deux parts égales, de sorte que les dimensions $21\times 29,7$ du format $A4$ ne sont que des approximations, celles utilisées par les fabricants.
Voici un cheminement possible et très détaillé avec des triangles semblables :
- Exprimer AD et AB en fonction de x.
- Démontrer que $\widehat{DAE}=\widehat{ABF}$.
- En déduire que les triangles ADE et AFB sont semblables.
- Montrer alors que $\frac{3x}{AE}=\frac{10+GB}{3x}=\frac{AF}{x}$ .
- Montrer que $AE=x\sqrt{10}$ et en déduire que $AF=\frac{3x}{\sqrt{10}}.$
- Montrer que $\widehat{ABF}=\widehat{GHB}$ puis en déduire que les triangles AFB et GHB sont semblables.
- Montrer alors que $\frac{BH}{x\sqrt{10}}=\frac{GB}{x}=\frac{1}{x}.$
- En déduire que $GB=1 cm$
- A l’aide de la question 4), montrer que $AF=\frac{11}{3} cm.$
- Finalement, à l’aide de 5), calculer la valeur de x puis en déduire la longueur des côtés du carré.
Voici une façon de construire, par pliage, une feuille rectangulaire semblable à sa moitié (prise dans le sens de la longueur). On prend une bande de papier suffisamment longue (en bleu sur la figure) et on rabat sa largeur $AY$ sur sa longueur, pour obtenir l'axe $(XY)$ ainsi que le point $A'$. On rabat ensuite la longueur sur $(XY)$, pour avoir un deuxième pli, celui qui permet d'obtenir $X'$ par symétrie.
La seule utilisation du théorème de Pythagore prouve que $ABX'Y$ est au format voulu. En effet, on a : $XY^2=2AY^2$ et $CY^2=2X'Y^2=2XY^2= 4AY^2$, de sorte que $CY = 2AY$. En prenant $D$ symétrique de $Y$ par rapport à $A$ on obtient bien que les rectangles $ABX'Y$ et $DEX'Y$ sont semblables, puisqu'ils peuvent être construits de la même manière (c'est suffisant de dire cela non ?).
Un rectangle $AGFY$ avec $AG>AX$ et $AG$ différent de $AB$ n'est pas semblable à sa moitié car sinon il serait semblable à $ABX'Y$. Et de $X'Y^2=2AY^2$ on déduit que le format d'un tel rectangle est $\sqrt{2}$.