Recherche origine énoncé série

@Chaurien

C'est un énoncé qu'on retrouve dans le premier tome d'analyse de Francinou et Gianella (3.37), intitulé Séries de Hardy. Je ne sais pas si on le retrouve ailleurs. Je me connecte rarement mais en profite pour vous remercier pour vos interventions mathématiques que je lis souvent avec plaisir.

@Renart

On est effectivement tenté par une sommation d'Abel comme dans le cas classique de l'étude de $\sum \frac{\sin n}{n}$, mais ce n'est pas vraiment une idée fructueuse ici : il n'est pas du tout évident de borner $\sum \sin \pi \sqrt n$ de façon suffisament fine. Une autre idée consiste à montrer que si $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1([q,+\infty[)$ pour un certain réel $q$ et si $\int_q^{+\infty} |f'(t)| dt$ converge, $\sum f(n)$ et $\int_q^{+\infty} f(x) dx$ ont même nature. Ça ne coûte pas très cher à montrer et on en déduit que la série converge si $\alpha>\frac{1}{2}$.
Il reste à voir que le la série diverge si $\alpha \leq \frac{1}{2}$.

L'exercice de Francinou et Gianella se termine par "Le lecteur courageux pourra étudier plus généralement la nature de $\sum \frac{\sin \pi n^{\beta}}{n^{\alpha}}$ avec $\alpha,\beta>0$." Je laisse la suggestion ici, si certains sont intéressés !

Melchior : Ce n'est pas si difficile que ça de borner $S_n = \sum_{k=0}^n \sin(\pi \sqrt k)$, disons que c'est un peu pénible à écrire mais ça reste élémentaire. Voilà comment on peut procéder :

1) Avec un développement limité on estime $\sqrt {n^2 +k} -(n+\frac{k}{2n+1}) $ pour $k \in [0; 2n]$, on trouve
\[
\left|\sqrt {n^2 +k} -(n+\frac{k}{2n+1})\right| = \mathcal O(n^{-1}).
\]
En sommant pour $k \in \{0;\ldots; 2n\}$ et en utilisant l'inégalité des accroissements finis on trouve
\[
\left|\sum_{n^2\leq k < (n+1)^2} \sin(\pi \sqrt k) - \sum_{k=0}^{2n} \sin\left(\frac{k}{2n+1}\right)\right| = \mathcal O(1)
\]
lorsque $n$ tend vers l'infini.

2) On utilise un résultat classique sur la convergence des sommes de Riemann pour dire que
\[
\left|\sum_{k=0}^{2n} \sin\left(\frac{k}{2n+1}\right) - (2n+1) \int_0^1 \sin(\pi t) \mathrm dt \right| = \mathcal O(1)
\]
lorsque $n$ tend vers l'infini. On en déduit ainsi
\[
\sum_{k=0}^{n^2-1} \sin(\pi \sqrt k) = \sum_{j=0}^{n-1} \sum_{j^2\leq k < (j+1)^2} \sin(\pi \sqrt k) = \sum_{j=0}^{n-1} \left((2j+1)\int_0^1 \sin(\pi t) \mathrm dt +\mathcal O(1) \right) = \frac{2}{\pi} n(-1)^{n+1} + \mathcal O(n) = \mathcal O(n).
\]

3) Soit $m$ un entier s'écrivant $n^2+k$ avec $k\leq 2n$, on a $S_m = S_{n^2}+ \sum_{j=1}^k \sin(\pi \sqrt{n^2+j})$, cette dernière somme est majorée en valeur absolue par $k$, lui même majoré par $2n$. Ainsi on retrouve encore $S_m = \mathcal O(n) = \mathcal O(\sqrt m)$, ce qui est suffisant, avec une sommation d'Abel, pour démontrer que la série qui nous intéresse converge si $\alpha >1/2$.

En étant plus précis dans les calculs je pense qu'on doit même pouvoir donner le premier terme du développement asymptotique de $(S_n)_n$, mais je n'en ai pas le courage :-D

Quelle est la méthode utilisée dans ton sujet, Chaurien ?

@Renart

Merci d'avoir pris le temps d'expliciter la majoration de $\sum \sin (\pi \sqrt{n})$, c'est une jolie méthode !

Je traite la généralisation, $u_n=\dfrac{\sin(\pi n^a)}{n^b}$ avec $a>0$, $b>0$, dans le cas le plus facile (exceptés les cas $b>1$ et $a\in\N$) :
si $a+b\leq1$ alors la série diverge.

Si $2k+\dfrac16\leq n^a\leq 2k+\dfrac56$ on a $u_n\geq\dfrac{1/2}{(2k+5/6)^{\frac ba}}$.

En posant $n_1=\lfloor(2k+1/6)^{\frac1a}\rfloor$ et $n_2=\lfloor(2k+5/6)^{\frac1a}\rfloor$ et en notant $S_n$ la somme partielle de rang $n$ de la série on a :
$S_{n_2}-S_{n_1}\geq \dfrac{n_2-n_1}{2(2k+5/6)^{\frac ba}}$.

Or $n_2-n_1=(2k+5/6)^{\frac1a}-(2k+1/6)^{\frac1a}+O(1)\sim \dfrac2{3a}(2k)^{\frac1a-1}$ puisque $a+b\leq1$ entraine $\dfrac1a>1$.

Par suite $S_{n_2}-S_{n_1}\geq v_k$ avec $v_k\sim c k^{\frac{1-a-b}a}$ qui ne tend pas vers $0$ quand $k$ tend vers $+\infty$ : la suite $S_n$ n'est donc pas convergente.

On peut même prolonger à une fonction de classe $C^p$ : voir solution jointe.

Salut Jandri,

Je doute que quiconque ait réponse à cette question dans le cas $a>1$ et $b\leq 1$. Le fait que $a>1$ semble empêcher toute comparaison somme/intégrale non triviale et les démonstrations données jusqu'à présent (y compris la mienne) reposaient toutes de près ou de loin là dessus.

On peut sans doute démontrer l'équiréparition de $(An^a)_n$ modulo $2\pi$ pour presque tout $A$ ou presque tout $a$ mais cela ne donne que $\sum_{k=0}^n \sin(A k^a) = o_\infty(n)$ ce qui est insuffisant pour démonter la convergence de la série. Pire, pour la plupart des valeurs précises de $A$ et $a$ on ne saura, à mon avis, rien dire du tout. Par exemple, on ne sait même pas si $(3^n/2^n)_n$ est équirépartie modulo $1$. Et dans le cas générique je ne suis pas sûr qu'on sache faire mieux que l'équirépartition modulo $2\pi$ pour des suites de la forme $(An^a)_n$.

Mais j'aimerais beaucoup avoir tort !