Primitive du log intégral

Vu que le logarithme intégral n'admet déjà pas d'expression en fonction des fonctions usuelles, aucune de ses primitives n'en a...

Si $F$ est ta fonction
$$F^{\, \prime}(x) = \textrm{Li}(x) + \frac{x}{\log x} - 2x \times \frac{1}{\log(x^2)} = \textrm{Li}(x).$$
La "NFPR conjecture", je ne sais pas ce que c'est, mais des encadrements de $\textrm{Li}(x)$, il y en a pas mal dans la littérature adéquate.

Attention ! Je ne viens plus ici que très, très épisodiquement : inutile d'attendre de réponse immédiate de ma part (sauf urgence).

Bonjour Sylvain

La fonction F que tu présentes comme primitive de Li(x) semble correcte comme l'a montré "noix de totos"

$F(x) = xLi(x) - Li(x^2)$ avec :

$Li(x^2) = \int_0^x\frac{t}{lnt}$ déterminée après changement de variable d'intégration et pour x différent de 1

On peut d'ailleurs trouver un développement taylorien de cette primitive F(x) pour x > 1 (strictement) en effet avec B constante d'intégration :

$$\int_1^xLi(t)dt= 1 - B + (x-1)ln(x-1) + x(B-1) + \Sigma_1^{+oo}\frac{(x-2)^{n+1} - (-1)^{n+1}}{n.(n+1)!}I_n$$
nous en déduisons que lorsque x tend vers 1 la primitive F(x) converge vers 1 - B contrairement à Li(x) qui diverge comme ln(x-1)

pour le démontrer tu pars du développement connu (pour x > 0)
en particulier d'Hadamard qui l'a utilisé pour le théorème des nombres premiers :
$\frac{x}{ln(1+x)}= 1 + xI_1 + \frac{x^2}{2}I_2 + .........+\frac{x^n}{n}I_n+.......$

avec $I_n = \int_0^1x(x-1)(x-2)......(x-n+1)dx$
suite d'intégrales calculées de 0 à 1 des polynômes factoriels ;
cette suite est alternée de signe et croissante en valeur absolue telle que :
$I_1 = 1/2 ; I_2 = - 1/6 ; I_3 = 1/4 ; I_4 = -19/30 ; I_5 = 9/4 ; I_6 = - 863/84 : I_7 = 1375/24 ; I_8 = - 16819/45$

Par intégration de 0 à x des termes de ce développement il vient :

$\int_0^x\frac{du}{lnu} = ln(x-1) + B + \Sigma_1^{+oo} \frac{(x-2)^n}{n.n!}I_n$
nous en déduisons que (nous le savions déjà) Li(x) diverge lorsque x tend vers 1 à droite comme ln(x-1)

sachant que la constante B d'intégration est
$B = \int_0^2\frac{du}{ln(u)} = \int_0^1\frac{dt}{ln(1-t)} + \int_0^1\frac{dt}{ln(1+t)} = 1, 0451637796....$
(la discontinuité de l'intégrande pour u = 1 provoque des divergences compensées dans l'intégration de 0 à 2)

Cordialement