Ineffabilité vs mesurabilité
Salut à tous
Bon ben voilà, tout est dans le titre. J'ai besoin de démontrer que tout cardinal mesurable est ineffable... et je n'ai aucune idée de chez Aucune idée de comment démarrer. Si quelqu'un pouvait me donner un semblant de début de piste je lui en saurais un plein pot de gré.
A noter que je n'ai trouvé aucune référence sur Internet. Tout le monde cite le résultat sans démonstration. (The proof is left to the reader).
Pour info :
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal régulier non dénombrable. $\kappa$ est ineffable si, pour toute suite $(A_{\alpha} : \alpha < \kappa)$ telle que $A_{\alpha} \subseteq \alpha$ pour tout $\alpha$, il existe $A \subseteq \kappa$ tel que $\{\alpha \mid A \cap \alpha = A_{\alpha}\}$ est stationnaire dans $\kappa$.
Bon ben voilà, tout est dans le titre. J'ai besoin de démontrer que tout cardinal mesurable est ineffable... et je n'ai aucune idée de chez Aucune idée de comment démarrer. Si quelqu'un pouvait me donner un semblant de début de piste je lui en saurais un plein pot de gré.
A noter que je n'ai trouvé aucune référence sur Internet. Tout le monde cite le résultat sans démonstration. (The proof is left to the reader).
Pour info :
Définition : Soit $\kappa$ un cardinal régulier non dénombrable. $\kappa$ est ineffable si, pour toute suite $(A_{\alpha} : \alpha < \kappa)$ telle que $A_{\alpha} \subseteq \alpha$ pour tout $\alpha$, il existe $A \subseteq \kappa$ tel que $\{\alpha \mid A \cap \alpha = A_{\alpha}\}$ est stationnaire dans $\kappa$.
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Réponses
J'espère que tu vas bien. Je viens de trouver ce slide dans lequel l'on notera la présence d'un graphe à la page 11. Il semble préciser cette séquence en particulier : $\kappa\text{ est mesurable}\rightarrow\kappa\text{ est de Ramsey}\rightarrow\kappa\text{ est ineffable}$.
Amitiés
Thierry
PS : voir également l'exercice 17:25, page 308, du Thomas Jech, ainsi que les notes correspondantes.
Merci pour ces infos. L'exercice du Jech ne fait que citer le théorème, mais le fait de savoir que tout Ramsey est ineffable va peut-être m'aider, car il y a une caractérisation des ineffables en termes de partition.
Théorème : un cardinal $\kappa$ est ineffable ssi pour tout coloriage $c: [\kappa]^2 \to \{0,1\}$, il existe un ensemble homogène $H \subseteq \kappa$ qui est stationnaire dans $\kappa$.
Je sais démontrer que mesurable $\Rightarrow$ Ramsey et que ineffable $\Rightarrow$ le truc du théorème. Il me reste donc à prouver que Ramsey $\Rightarrow$ le truc, et la réciproque du théorème.
En effet, j'ai trouvé sur le Cantor's Attic (qui remarche, Thanks God) l'information suivante : s'il existe, le plus petit cardinal Ramsey n'est pas ineffable.
http://cantorsattic.info/Ramsey
Voir la rubrique : "Relations with other large cardinals".
Il va donc falloir que je me débrouille pour démontrer directement que mesurable $\Rightarrow$ ineffable.
Par ailleurs il y avait une coquille dans mon précédent post, que je viens de rectifier : je veux bien sûr montrer que mesurable $\Rightarrow$ ineffable, et non pas Ramsey.
Ceci dit je pense avoir résolu une partie du problème. J'appelle (*) la condition : pour tout coloriage $c: [\kappa]^2 \to \{0,1\}$, il existe un ensemble homogène $H \subseteq \kappa$ qui est stationnaire dans $\kappa$.
Je veux donc démontrer que mesurable $\Rightarrow$ (*). Je me réfère à mon chap 24 (nouvelle version).
Soient $\kappa$ un cardinal mesurable, et $U$ un ultrafiltre normal sur $\kappa$. Soit par ailleurs $c:[\kappa]^2 \to 2$ un coloriage. Par le théorème 239 (Rowbottom), il existe $X \in U$ qui est homogène pour $c$. Par la proposition 214, $U$ est $\kappa$-complet. Par la proposition 208, $U$ est uniforme, i.e. que tout élément de $U$ a pour cardinalité $\kappa$. En particulier, pour tout $\alpha < \kappa$, $\alpha \notin U$, donc $\kappa \setminus \alpha \in U$. Enfin, par la proposition 213, $CLUB_{\kappa} \subseteq U$, donc pour tout club $C$, $X \cap C \in U$, en particulier $X \cap C \neq \emptyset$. On a bien montré que $X$ est stationnaire.
Il me reste à prouver que (*) $\Rightarrow$ ineffable...