Lemme de Zorn

Très juste Maxtimax, et ce n'est pas évident. On a $\cal{C} \subset \chi$, donc :

$\forall A \in \cal{C}$, $A \in \chi$, donc $\exists a \in X, A \subset s(a)$.

Si la chaîne $\cal{C}$ n'est constituée que de $s(a)$, alors les $s(a)$ peuvent être ordonnés, et sont rangés comme les $a$ tels que $\exists A \in \cal{C}$, $A=s(a)$ (cette propriété évidente des $s(a)$ a été vue précédemment). Les $a$ (qui forment un ensemble inclus dans $X$, que j'appelle $M$) constituent alors une chaîne dans $X$, donc possèdent une borne supérieure $x$, alors $\forall a \in M, a \leq x$, donc $\forall A \in \cal{C}$, $A=s(a) \subset s(x)$, d'où $\bigcup_{A \in \cal{C} } A \subset s(x)$.

Maintenant si $\cal{C}$ est constituée seulement d'ensembles inclus dans des $s(a)$, les $s(a)$ ne constituent pas forcément une chaîne dans $\chi$, donc les $a$ non plus. On peut ajouter les ensembles $A$ un par un par l'inclusion, alors si $A \subset B \subset s(b)$, alors $A \cup B \subset s(b)$. Mais cela ne marche que pour un nombre fini d'ensembles $A$.
On a $\bigcup_{A \in \cal{C} } A \subset \bigcup_{a \in M } s(a)$, mais on ne peut pas déduire que $\bigcup_{a \in M } s(a)$ est inclus dans un $s(x)$.

On peut aussi faire :
soit $A, B \in \cal{C}$ tels que $A \subset B$ ; alors $\exists a, b \in X$ tels que $A \subset s(a), B \subset s(b)$.
Si $s(a) \subset s(b)$, alors $s(a)$ et $s(b)$ sont rangés comme $A$ et $B$.
Sinon, vu que $A \subset B \subset s(b)$, on peut prendre $b$ pour l'élément $a \in X$ tel que $A \subset s(a)$. On a alors $s(a)=s(b)$, et $A$ et $B$ sont encore rangés comme $s(a)$ et $s(b)$.
Mais ça ne colle pas vu qu'on n'a pas qu'un seul ensemble $B$ tel que $A \subset B$.
Bref, je bloque.

Merci beaucoup Thierry Poma pour ton lien, je peux aller voir une autre démonstration qui peut m'aider à comprendre celle de mon livre.

A la réflexion, j'abandonne ce livre, cela devient beaucoup moins rigoureux maintenant (chapitre sur le bon ordre) : définitions pas précises, démonstrations elliptiques.

TP : le livre de Patrick Dehornoy n'étant pas disponible en ce moment, aurais-tu (ou quelqu'un d'autre) une solution à me proposer : autre livre, téléchargement ?

Merci d'avance.

Bonjour, et merci beaucoup ! Je me méfie maintenant vu que le livre de P. Halmos est lui aussi très bien noté. J'ai bien apprécié le passage du livre de L. Schwartz (mais je n'ai pas besoin du chapitre sur la topologie), à voir.

Une question (que je me pose depuis le début) : peut-on réellement étudier la théorie des ensembles sans avoir fait un minimum de logique ? L'un ne va-t-il pas sans l'autre ?

Merci à vous. Les premiers chapitres du cours de P. Dehornoy sont disponibles sur son site : https://www.lmno.cnrs.fr/archives/dehornoy/index.html (pour ceux que cela intéresse)

Bonjour et merci à tous.

Ton document, Martial, a l'air très complet sur la question. Je vais peut-être le regarder un peu plus.

Concernant le passage dans le livre de P. Halmos, il dit s'être inspiré de la démonstration du lemme de Zorn par Zermelo. Quelqu'un connait-il cette démonstration ?

En prenant plusieurs exemples, cette affirmation parait vraie. C'est immédiat si la chaîne est finie, ou si l'ordre sur $X$ est total.

Merci TP. La phrase est exactement : "la structure de la démonstration est une adaptation de celle donnée à l'origine par Zermelo" : elle est ambigüe, il semble qu'il s'agit d'une adaptation de la démonstration du lemme de Zorn donnée à l'origine par Zermelo, mais c'est une traduction.

Quelqu'un pour démontrer ce passage ?

Merci encore une fois TP.

J'en pense que c'est mot pour mot la démonstration du lemme de Zorn de Paul R. Halmos en anglais (c'est donc son texte), à un léger détail près :

- dans le livre que j'ai sous les yeux, $\chi$ est la collection de tous les sous-ensembles de $X$ qui sont inclus dans $s(x)$ pour un certain $x$ de $X$,

- dans les liens que tu m'as donnés, $\chi$ est l'ensemble des chaînes de $X$ (qui se trouvent donc incluses dans un $s(x)$).

Ce qui est loin d'être la même chose pour une chaîne $\cal{C}$ de $\chi$.

Dans ces liens, la conclusion colle : l'union des ensembles de $\cal{C}$ est une chaîne de $X$ (je n'ai pas fait la démonstration tellement elle est évidente).

Pourquoi le texte a été modifié, mystère. Je suppose que, vu que le livre de Halmos a été écrit en 1965, et que les remarques que tu as mis en lien sont datées d'une dizaine d'années, que le livre de Halmos a été rectifié entretemps dans la version anglaise, et pas dans la traduction française qui date de 1967.

Cela ne me dit toujours pas si c'est une erreur ou non dans la version originale, mais peu importe. Je suis passée sur le cours de Patrick Dehornoy, qui est vraiment super.

Merci encore.

Par rapport à ma question à TP, en fait cela n'a pas d'importance, car $\chi$ peut être une collection non vide de sous-ensembles de $X$ qui vérifie les conditions imposées, ou bien l'ensemble de ses chaînes (qui les vérifie aussi), ce qu'il faut c'est trouver $A$ dans $\chi$ tel que $A$ soit maximal dans $\chi$, c'est ce que fait la démonstration de Halmos.
Alors $A$ sera maximal dans la collection $\chi$, qui peut être prise pour l'ensemble des chaînes de $X$, ce sera donc un $s(x)$, qui fournira un $x$ élément maximal de $X$. Voilà.

Bonjour et merci TP.