Problème sur les matrices inversibles

Bonjour,
c’est le mois d’août, le ventre mou de l’année. Je propose ce problème d’algèbre pour s’occuper à ses heures perdues.
Bien cordialement.

$\textbf{Problème}$
Deux matrices $M,N \in \mathscr{M}_k(K)$, à coefficients dans un corps $K$, sont $\textbf{similaires}$ si il existe une matrice $C \in GL_k(K)$ telle que $N=C^{-1}MC$.
Soient $A,B \in GL_k(\mathbb{Q})$, deux matrices similaires inversibles définies sur le corps des rationnels.
Supposons que pour un certain entier $\ell$, les matrices $A, B$ vérifient
\begin{equation}
A^{\ell+1}B=BA^{\ell}

\end{equation} Montrer que $A$ et $B$ sont les matrices identité.
…