Image directe, image réciproque

Julia Paule
Julia Paule
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Je m'étais déjà posé la question et avait trouvé une réponse qui me satisfaisait, malheureusement je ne la retrouve plus : pourquoi la définition des fonctions (un argument donne une seule image) fait que les images réciproques se comportent parfaitement bien, pour l'union, l'intersection, le complémentaire, etc ... (exemple : l'image réciproque de l'intersection est l'intersection des images réciproques), a contrario des images directes ?

Il me semble que c'est entièrement lié au fait qu'un argument donne une seule image. Je ne cherche pas une démonstration, ou une justification issue de bac +8, mais une phrase dans le langage courant qui justifie ce fait.

Merci d'avance.

Réponses

  • Martial
    Martial
    Difficile à expliquer. Je pars d'un exemple. Si tu sais que $y \in f(A) \cap f(B)$, c'est que $y$ a un antécédent dans $A$ et un autre (éventuellement différent) dans $B$. Mais il n'y a aucune raison pour que $y$ ait un antécédent dans $A\cap B$.

    En revanche, l'information $x \in f^{-1}(Truc)$ est très forte : elle te dit exactement où se promène $f(x)$.

    Cela rejoint ce que tu dis : "Il me semble que c'est entièrement lié au fait qu'un argument donne une seule image.".

    Ce que je dis n'est pas très intéressant, mais au moins je suis sûr de ne pas avoir atteint le niveau Bac + 8.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Merci Martial. C'est sûr, ce n'est pas du bac + 8. Je m'étais trouvé une seule phrase qui expliquait le fait, et je n'arrive plus à la reproduire, rrr ...

    Ce que j'ai trouvé entre-temps, et cela rejoint ce que tu dis, mais bof aussi :
    si $f^{-1}(B)=A$, alors $x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B$,
    mais si $f(A)=B$, on ne peut plus l'affirmer.
    Donc $f^{-1}(B)=A$ est plus précis (dit plus de choses) que $f(A)=B$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    C'est peut-être là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2173066 ce que tu cherches et que tu as oublié.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Oui c'est ça ! A la suite de la remarque de christophe c, je m'étais formulé une simple phrase qui m'avait convaincue de pourquoi $f^{-1}$ marchait si bien. J'aurais dû l'écrire.

    Et aussi, $f^{-1}$ a un "aspect" injectif (du fait qu'un argument a une seule image) : si $x$ et $x'$ ont pour images respectives $y$ et $y'$ par $f$, donc sont des "images" de $y$ et $y'$ par $f^{-1}$, alors $y \ne y' \Rightarrow x \ne x'$, et un aspect surjectif : $f^{-1}(Y)=X$ ; donc par son "aspect" bijectif, elle respecte les unions, intersections, ..., bof aussi.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonsoir Julia

    Voici un montage d'un texte extrait du livre d'algèbre de Monsieur Michel Queysanne, où il y est question d'une application $f:A\to{}B$. Si j'ai bien compris ton interrogation, le comportement exceptionnel et inconditionnel dont tu parles a fait en sorte que l'on choisisse les applications continues, a contrario des applications ouvertes, comme morphismes de la catégorie des espaces topologiques. Il en va également de même pour la catégorie des espaces mesurables et des fonctions mesurables. Le choix est loin d'être hasardeux, mais bien motivé.

    Bonne soirée.

    Thierry125336
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Thierry Poma, je n'ai pas vu (encore) les catégories. Cet extrait, comme j'imagine la plupart des textes relatifs aux images directes et réciproques, constate, n'explique pas.
  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Julia

    Les derniers exercices ne sont pas invisibles. Les vois-tu ?
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Oui j'avais constaté que si $f$ est bijective, alors elle marche aussi bien que $f^{-1}$, et si elle est seulement injective ou surjective, alors certaines propriétés fonctionnent, et réciproquement.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Je continue pour essayer de retrouver l'argument convaincant (qui tient en une ligne).

    $f(A)$ n'est pas précis : des éléments peuvent provenir ailleurs que de $A$ : si $y \in f(A)$, alors $\exists x \in A$ tel que $f(x)=y$ (pas précis : il peut exister $x' \notin A$ tel que $f(x')=y$) ;
    si on a $f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)$ (car $A \cap B \subset A$ et $B$), l'inverse est faux car les éléments de $f(A) \cap f(B)$ peuvent provenir ailleurs que de $A \cap B$.

    $f^{-1}(B)$ est précis : ses éléments ne peuvent provenir que de $B$, il est sans déperdition, les éléments de $f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ ne peuvent provenir que de $A \cap B$.

    Maintenant, pourquoi $f^{-1}(B)$ est précis et $f(A)$ ne l'est pas ? Car $f$ est une fonction (les éléments de $f^{-1}(B)$ sont renvoyés dans $B$) tandis que $f^{-1}$ ne l'est pas (les éléments de $f(A)$ ne sont pas renvoyés sur $A$).

    Donc les opérations sur les ensembles (intersection, union, complémentarité) commutent mieux avec $f^{-1}$ qu'avec $f$. Pour une opération sur des ensembles avec $f^{-1}$, on se moque de la surjectivité et on a l'injectivité, donc ça fonctionne, tandis que pour une opération avec $f$, on ne se moque pas de l'injectivité (par exemple pour l'intersection et la complémentarité), donc ça ne fonctionne pas toujours.

    Bof, trop long de toute façon.
  • Dom
    Dom
    Les deux phrases que tu écris sont assez simples et pertinentes par rapport à ce que tu cherches.
    Je les récris à ma sauce.

    $f(A)$ ne contient pas (forcément) des images qui proviennent seulement d’éléments de $A$ (i.e. : peut contenir des images d’éléments qui ne sont pas dans $A$).

    $f^{-1}(B)$ contient tous les éléments dont l’image est dans $B$ et uniquement ceux-là grâce à l’unicité de l’image pour une fonction.

    Remarque : pour la première phrase, « la quête » est de parler de l’ensemble $f(A)$ mais auquel on enlève les $f(x)$ pour les $x$ qui ne sont pas dans $A$.
    $$f(A) \setminus \{ f(x)\mid x\notin A\}
    $$ Si toutefois j’ai bien cerné le fond du sujet.

    Édit : on peut aussi s’intéresser à l’ensemble dont l’intersection avec $A$ est vide et dont l’image est incluse dans $f(A)$.
    $$\{ x\mid x\notin A,\ f(x) \in A \}
    $$ Si je ne me trompe pas, c’est l’image réciproque du précédent.

    Lexique à revoir pour moi : je ne sais pas si ça touche ce sujet ou pas mais j’avais entendu parler de « fibre » et il me semble que ça faisait le lien avec cela…
  • christophe c
    christophe c
    J'ai déjà souvent répondu à cette question souvent me semble-t-il.

    En supposant $A=f^{-1}(B)$, tu as $\forall x: [A(x)\iff B(f(x))]$, ce qui fait que "la plupart des choses" qui se passent*** pour $B$ seront héritées par $A$. En particulier, la complexité de $A$ ne peut pas dépasser celle de $B$ (en supposant $f$ dans le kit).

    Par contre, dans l'autre sens, il ne se passe pas grand chose puisque la projection ne conserve pas grand chose (elle aplatit beaucoup de chose, dont la complexité, un ensemble d'une complexité inoui, peut devenir trivial (par exemple se projeter surjectivement)

    *** Par exemple les opérations passent toutes, ie
    $$(A*A')(x) = (A(x))*(A'(x)) = (B(f(x)))*(B'(f(x))) = (B*B')(f(x))$$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Julia Paule
    Julia Paule
    C'est possible, mais je ne comprends toujours pas, vu que je ne sais pas ce qu'est la complexité.

    Je comprends que l'information $x \in f^{-1}(B)$ est plus riche que l'information $y \in f(A)$. Ou encore que la déformation de l'information entre $B$ et $f^{-1}(B)$ est moins grande qu'entre $A$ et $f(A)$.
  • christophe c
    christophe c
    Connaissant $B,f$, tu connais $A$ par $A(x)=B(fx))$. Voilà ce qu'il se passe quand $A$ est l'image réciproque de $B$.

    Tu n'as pas du tout ça pour l'image directe.

    Précision : un ensemble est une fonction, celle définie par $\forall x:(E(x):=[$ if $x\in E$ then vrai else faux$)]$
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  • Thierry Poma
    Thierry Poma
    Bonjour Christophe

    J'espère que tu vas bien. Quand je lis : "if $x\in E$ then vrai else faux", j'ai l'impression d'avoir affaire à un algorithme, donc à un objet purement métamathématique, ce qui me semble incompatible avec un ensemble qui est un objet mathématique. Que tu identifies un ensemble avec sa fonction indicatrice, je n'y vois aucun problème. Mais là, ça ne passe pas.

    Amitiés,

    Thierry
    Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
  • christophe c
    christophe c
    Je te donne les définitions:

    [if vrai then x else y] := x

    [if faux then x else y] := y
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  • Maxtimax
    Maxtimax
    Peut-être que l'avant-dernier message de christophe donne une phrase qui tient en une ligne : $f^{-1}$ c'est une précomposition (au niveau des fonctions indicatrices) donc se comporte bien vis-à-vis des quantificateurs, puisqu'il n'y a rien à commuter : les quantificateurs restent devant. Ce n'est pas le cas de l'image directe

    (Quantificateur existentiel correspond ici à l'union et universel à l'intersection bien sûr)

    Bon le point de vue catégorique étant que $f^{-1}$ est adjoint à droite et à gauche donc préserve intersections et unions.
  • Julia Paule
    Julia Paule
    Heu, pas bac+8, je dirais plutôt L1 (je ne crois pas qu'au lycée ils connaissent $f^{-1}$).
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