Logarithmes complexes

Bonjour,

$\ln e^{0} = 0 = \ln e^{i 2 \pi} = i 2 \pi.$

Bonjour cora59,

Reprenons le "logarithme traditionnel" introduit ci-dessus. Soit deux complexes non nuls d'arguments dans $]-\pi,\pi]$. Si la somme des arguments est aussi dans $]-\pi,\pi]$, alors on n'a pas fait de tour et la formule reste vraie. Sinon il faut compenser le tour par un facteur $\pm 2i\pi$.

Si on prend $z=w=-i$, alors $$-\pi=\arg(z)+\arg(w)\neq \arg(zw)=\pi$$ (où $\arg$ est à valeurs dans $]-\pi,\pi]$).

Attention le $\ln$ complexe est défini sur $\C_0.$
Cependant, il n'est continu (et holomorphe) que sur $\C \backslash \R^-.$

Bonjour, :-)
Je suis nouveau sur ce site et c'est mon premier message.

Je m'intéresse actuellement aux $\log_i(z)$.

J'ai testé plusieurs logarithmes avec des puissances de $i$, j'ai vu que, pour tout complexe de forme $a + ib$, il serait possible de calculer son $\log_i$ avec cette formule :
$$\log_i(a+bi) = - \dfrac{i(\ln(a^2 + b^2) + 2\arg(z)i)}{\pi}.

$$ J'ai essayé avec plusieurs $i^p$ :
• $i^0 \rightarrow \ 0$ (avec $b = 1$)
• $i^1 \rightarrow \ 1$ (avec $b = 1$) ;
• $i^2 \rightarrow \ 2$ (avec $b = 1$) ;
• $i^3 \rightarrow \, -1$ (avec $b = -1$) ;
• $i^4 \rightarrow \ 0$ (avec $b = 1$).

J'ai remarqué aussi que quel que soit $p$, $i^{p} = i^{p+4} = i^{p+8} = i^{p+4n}$, on obtient toujours le même résultat (ce qui est normal). Pour que cela fonctionne, il faut prendre $a$ et $b \in \mathbb{R}$ d'après ce que j'ai compris.

Ensuite, j'ai essayé avec plusieurs $\log_i(z)$ moins faciles.

Exemple avec $z = 6 + 9i$.
$\log_i(z) = - \dfrac{i\big(\ln(6^2 + 9^2) + 2\arctan(\frac{9}{6})i\big)}{\pi} = - \dfrac{i\big(\ln(117) + 2\arctan(\frac{3}{2})i\big)}{\pi}$.
Après vérification, c'est bien égal au $\log_i(6+9i)$.

J'ai testé d'autres valeurs avec ces formules, tout me semble correct. J'ai aussi appliqué la formule à des imaginaires purs et à des réels (évidemment la formule peut être simplifiée selon les cas). J'ai vérifié à la calculatrice pour les $\log_i(z)$ pas évidents, les formules ramènent bien au $\log_i(z)$.

Donc l'affirmation $\forall z \ de \ forme \ a+ib$, avec $a, b \in \mathbb{R}$, $\log_i(z) = - \dfrac{i\big(\ln(a^2 + b^2) + 2\arg(z)i\big)}{\pi}$ me semble vraie… Mais je n'en ai aucune preuve.

Qu'en pensez-vous ?
Merci par avance et désolé si je n'ai pas été très synthétique. :-)

Bonjour,
Merci pour votre réponse !

Effectivement j'aurais dû préciser que cette formule donnait un des $\log_i(z)$, pas le. :-)

Autre question qui peut être utile pour cette formule. Selon l'identité d'Euler, est-ce qu'on peut considérer que $\ln(-1) = i\pi$ ?

Au revoir et merci par avance.

Bonsoir,

On peut définir un logarithme complexe comme fonction holomorphe sur toute partie simplement connexe de $\mathbb C^*$. Par exemple, la détermination du logarithme définie sur le complémentaire de la spirale logarithmique $\rho = \exp(\theta-1)$ qui vaut 1 en 0. Que vaut alors le logarithme de $i$ ? de $-1$ ? de $22$ ?