Étude de deux séries

etanche
etanche
dans Analyse
Bonjour
Si $\quad\displaystyle x_n=\sqrt[n+1]{(n+1)!} - \sqrt[n]{n!},$
1/ Nature de $\quad\displaystyle \sum_{n\geq 1} ( x_n - \frac{1}{e} ).$
2/ Nature de $\quad\displaystyle \sum_{n \geq 1} ( x_n -\frac{1}{e} - \frac{1}{2 e n} ).$
Merci.

Réponses

  • Dom
    Dom
    Je n’ai rien essayé.
    Est-ce que jouer avec des DL suffit ?
  • Gon
    Gon
    Bonsoir.
    Je n'ai pas écrit mais on peut trouver un développement asymptotique de $x_{n}$.
    Sauf erreur, on a $ln(n!)=(n+\frac{1}{2})ln(n)-n+c+o(1)$ qui doit permettre de trouver un développement asymptotique de $x_{n}$
    NB. L'expression même de $x_{n}$ est intéressante, est-ce possible d'utiliser le théorème des accroissements finis sur $]n,n+1[$ en considérant la fonction $f$ définie par $f(n)=e^{\frac{\ln(n!)}{n}}$ car apparemment le $n!$ ne va pas gêner dans la dérivée de $f$.
    La formule de la dérivée discrète à laquelle je pense n'est peut-être pas utile ici
    Depuis mon téléphone
  • Victor2N
    Victor2N
    Petite idée : $e^x \geq \frac{x^n}{n!}$ (à appliquer à $x=n$) (:D
  • Chaurien
    Chaurien
    Moi j'utiliserais la formule de Stirling.
  • Eric
    Eric
    (Pour Gon) un exercice qui se trouvera dans la prochaine édition (si elle sort un jour) du bouquin de sup dans lequel il a trouvé l'inégalité d'Aczel.

    1) Soit $\mathopen{(}a_{n}\mathclose{)}_{n\geq1}$ une suite de réels positifs telle que $\lim\limits_{n\to+\infty}a_{n}=a$. On définit la suite $\mathopen{(}b_{n}\mathclose{)}_{n\geq1}$ par $b_{n}=\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{3}n]{a_{1}\times\dotsb\times a_{n}}$ (la moyenne géométrique de $a_{1},\dotsc,a_{n}$). Montrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}b_{n}=a$.
    2) Soit $\mathopen{(}a_{n}\mathclose{)}_{n\geq1}$ une suite de réels strictement positifs telle que $\smash{\lim\limits_{n\to+\infty}\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}=a}$. Démontrer que $\lim\limits_{n\to+\infty}\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{3}n]{a_{n}}=a$.
    3) Calculer
    \begin{equation*}
    \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}n]{n!}}{n}
    \qquad\text{et}\qquad
    \lim_{n\to+\infty}\frac{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{3}n+1]{(n+1)!}}{\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}n]{n!}}\cdotp

    \end{equation*} 4) La suite de Lalescu $\mathopen{(}L_{n}\mathclose{)}_{n\geq1}$ est définie par
    \begin{equation*}
    L_{n}=\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{3}n+1]{(n+1)!}-\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}n]{n!}\,.

    \end{equation*} Calculer $\lim\limits_{n\to+\infty}L_{n}$.
  • Chaurien
    Chaurien
    L'étude de cette suite a été en effet proposée par Trajan Lalesco (ou Lalescu, 1882-1929) comme problème 579 dans un numéro de 1900 de la Gazeta Mathematica, de Bucarest, d'où son nom. La limite de cette suite est un premier problème, qu'on pourra résoudre avec les indications d'Eric, mais cette limite ne donnera pas la réponse à la question posée par etanche. Mon idée est simplement de faire un développement asymptotique au moyen de la formule de Stirling pour $\ln n!$, à la précision $o(\frac 1n)$ ou plus si nécessaire.125190
  • etanche
    etanche
    Comme l’a dit Chaurien faut un DA de $x_n$ pour trouver la nature des séries.
  • jandri
    jandri
    Avec $\ln(n!)=n\ln n-n+\dfrac12\ln(2\pi n)+\dfrac1{12n}+O(1/n^3)$ j'ai obtenu :

    $x_n -\dfrac{1}{e} - \dfrac{1}{2 e n}\sim-\dfrac{(\ln n)^2}{8en^2}$.
  • Gon
    Gon
    Bonjour
    Merci Eric, je vais regarder l'exercice en question d'ici peu ;-)
    NB: Déjà pour la première question, on peut majorer $(b_{n})$ en utilisant l'inégalité arithmético-géométrique et le fait que $a_{k} \leq a$ pour tout $k$ entier non nul. Pour la minoration, avec l'inégalité arithmético-géométrique, je n'arrive pas à trouver une bonne minoration afin de conclure aussi et d'en déduire via le théorème de gendarmes. Mais bon je ferai l'exercice entièrement comme je l'ai dit.
  • Eric
    Eric
    Bonne idée de regarder l'inégalité AG ... mais elle ne se promène pas seule. Si l'on utilise sa cousine, on obtient la minoration voulue. Une autre idée pour cette question est de passer au log.
  • Gon
    Gon
    Bonjour
    Oui la minoration passe effectivement, je venais à peine de me réveiller et je me suis mélangé les pinceaux.
    Là, il suffit de voir que $a \leq \frac{n}{\sum{\frac{1}{x_{k}}}}$.
    Ainsi, on a $a \leq \frac{n}{\sum{\frac{1}{x_{k}}}} \leq b_{n} \leq \sum{\frac{x_{k}}{n}}\leq a$.
  • Eric
    Eric
    En traitant à part le cas où un des $a_i$ est nul (qui ne nécessite pas de minoration) ...
  • Gon
    Gon
    Exactement car si au moins un $a_{i}$ est nul, la suite $(b_{n})$ est nulle.
    Je crois que tu raisonnes ainsi afin d'appliquer le $\log$ sinon il y aura un problème de définition :-)
  • Eric
    Eric
    La deuxième question se déduit de la première ou se fait directement.
    La troisième se déduit de la deuxième ou de la première ou de la formule de Stirling.
    Pour la quatrième, on peut noter que
    \begin{equation*}
    L_{n}=\frac{\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}n]{n!}}{n}\times\frac{b_{n}-1}{\ln b_{n}}\times\ln b_{n}^{n}\,,
    \end{equation*} où \begin{equation*}
    b_{n}=\frac{\sqrt[\leftroot{-2}\uproot{3}n+1]{(n+1)!}}{\sqrt[\leftroot{-1}\uproot{2}n]{n!}}\cdotp
    \end{equation*}
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