Familles d'ensembles

Julia Paule · July 2021

Bonjour,

Mon livre parle sans plus de précisions de la famille d'ensembles $\{A_i \}_{i \in I}$. C'est donc une application : $i \mapsto A_i, I \rightarrow$ dans quel ensemble ?

J'aurais tendance à dire dans $\bigcup_{i \in I} A_i$. Est-ce cela ? (mais pour que $\bigcup_{i \in I} A_i$ ait un sens, il faut avoir commencé par définir l'application qui définit la famille des ensembles $A_i$, donc on tourne en rond). EDIT : non, ce n'est pas ça : $A_i \notin \bigcup_{i \in I} A_i$.
S'il existe un axiome qui dit que de toute collection d'objets, on peut faire un ensemble, on tourne aussi en rond.

En fait, on a $A_i \subset \bigcup_{i \in I} A_i$, donc on peut dire que l'application est à image dans $P(\bigcup_{i \in I} A_i)$ (l'ensemble des parties), mais on tourne aussi en rond.

Merci d'avance.

Maxtimax · July 2021

On peut définir "application" sans devoir fournir l'ensemble d'arrivée. Une famille d'ensemble c'est juste une application (ou le graphe d'une application, selon les terminologies), et l'ensemble d'indices est le domaine de celle-ci.

Julia Paule · July 2021

Merci beaucoup Maxtimax. Dans mon livre, application = fonction, i.e. la distinction n'est pas faite, et pour une fonction, on parle d'une fonction de $X$ à $Y$.

D'un autre côté, une fonction est un cas particulier d'une relation (relation = ensemble de couples appartenant à un produit cartésien), et inversement tout ensemble de couples (sans plus de précisions, je cite mon livre) est un sous-ensemble du produit cartésien de deux ensembles (c'est une démonstration), qu'on peut restreindre aux projections (1ère et 2ème). On tient là l'ensemble d'arrivée (2ème projection). La 1ère projection est le domaine (ensemble d'indices). Cela colle. Merci encore.

Mais aussi, si on a des objets, on peut décréter l'ensemble de ces objets. Mais on ne peut l'utiliser ici car on tournerait en rond.

Maxtimax · July 2021

Après, parfois, ce genre de familles n'est pas donnée sous cette forme - et c'est là qu'intervient le schéma d'axiomes de remplacement.

En fait, parfois cette famille t'est donnée non pas sous la forme d'une application $(A_i)_{i\in I}$ (donc d'un ensemble) mais sous la forme d'une formule, qui te dit "comment calculer $A_i$ en termes de $i$". Dans ce cas, l'existence de $\{A_i, i\in I\}$ va (en général) nécessiter cet axiome (qui est un des classiques de ZF hein, "pas d'inquiétude")

Par exemple, si je te dis "$\aleph_n$ est le $n$-ième cardinal", je peux tout à fait écrire cette formule de manière à déterminer entièrement $\aleph_n$. Mais, sans remplacement, il n'est pas donné que je puisse en déduire que $(\aleph_n)_{n\in \mathbb N}$ est une famille (i.e. une application, une fonction).

Ta confusion initiale venait peut-être de là.

christophe c · July 2021

Formellement,

famille veut dire :

ensemble $f$ de couples tels que : $\forall x,y,z: ([(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f] \Rightarrow y=z)$.

L'ensemble des indices de $f$ est $a:=\{x\mid \exists y: (x,y)\in f\}$

On peut dire alors que $f$ est une famille indicée par $a$.

famille et fonction sont synoyme. Pour une même $f$ qui est une famille, donc une fonction:

domaine de $f = $ensemble des indices de la famille $f =_{AuLycee} $ ensemble de définition de la fonction $f$

Thierry Poma · July 2021

Cf. ceci. Comme il y a une redondance et dans le but de se reposer sur une logique du premier ordre, voici un texte revu et corrigé :

Une fonction $f$ définie sur un ensemble $\text{E}$ est elle-même un ensemble tel que\[\begin{gather*}(\forall\,z)(z\in{}f\Rightarrow(\exists\,x)(\exists\,y)(z=(x,\,y)))\text{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)((x,\,u)\in{}f\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{}f))\end{gather*}\]Soit $\text{I}$ un ensemble. C'est ainsi qu'une famille d'ensembles $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ est une fonction définie sur l'ensemble d'indices $\text{I}$. Il y a d'autres façons de voir les choses.
Une application $f$ définie sur une ensemble $\text{E}$ et à valeurs dans un ensemble $\text{F}$ est un ensemble tel que\[\begin{gather*}(\forall\,z)\left(z\in{}f\Rightarrow{}z\in{}\text{E}\times\text{F}\right)\text{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)((x,\,u)\in{}f\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)((x,\,y)\in{}f))\end{gather*}\]Soit $\text{I}$ et $\text{U}$ des ensembles. C'est ainsi qu'une famille $\left(\mbox{A}_{\alpha}\right)_{\alpha\in\text{I}}$ de sous-ensembles de $\text{U}$ est une application définie sur l'ensemble d'indices $\text{I}$ et à valeurs dans $\mathfrak{P}(\text{U})$.

PS : il est encore possible de modifier le deuxième énoncé de la manière suivante $:\$ [\begin{gather*}(\forall\,z)(z\in{}f\Rightarrow(\exists\,x)(\exists\,y)(z=(x,\,y)))\text{ et }\\(\forall\,x)(\forall\,u)(\forall\,v)((x,\,u)\in{}f\text{ et }(x,\,v)\in{}f\Rightarrow{}u=v)\text{ et }(\forall\,x)(x\in\text{E}\Rightarrow(\exists\,y)(y\in\text{F et }(x,\,y)\in{}f))\end{gather*}\]

Julia Paule · July 2021

Merci à tous.

Maxtimax, je n'ai pas encore vu l'axiome de remplacement.

christophe c : ok.

Thierry Poma : dans la théorie des ensembles, la distinction entre fonction et application est que pour une application, on précise l'ensemble d'arrivée, ce qu'on ne fait pas forcément pour une fonction ?

Pour les deux (fonctions et applications), qui sont toutes deux des relations, l'ensemble de départ peut être : soit défini a priori (dans ce cas, il faut préciser qu'une fonction envoie chaque argument (indice) sur une seule image), soit obtenu a posteriori comme le domaine de la fonction (dans ce cas, il faut préciser que si $(x,y)=(x,z)$ alors $y=z$) ?

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