Clôtures réflexives, symétriques, transitives

Bonjour.

Avant de poser mes questions, voici les définitions que j'ai utilisées (au cas où mes définitions ne soient pas celles que vous ayez en tête).

$\bullet$ Je dis qu'une assertion $P$ (qui peut dépendre de paramètres) est stable par intersection si et seulement si pour tout ensemble non vide $\mathcal{E}$, si $\forall A\in\mathcal{E},P(A)$ alors on a aussi $P\left(\bigcap\mathcal{E}\right)$.
$\bullet$ Étant donnés une assertion $P$ stable par intersection, et un ensemble $A$ tel qu'il existe au moins un sur-ensemble $E$ de $A$ tel que $P(E)$, je définis le $P$-engendré par $A$ comme étant l'ensemble $\displaystyle{\langle A\rangle_{P}:=\bigcap\Big\{B\subseteq E\Big| A\subseteq B\text{ et }P(B)\Big\}}$ après avoir montré que l'ensemble ne dépend pas du $E$ choisi.
Je montre que $\langle A\rangle_{P}$ est le plus petit (pour l'inclusion) sur-ensemble de $A$ qui vérifie $P$.

$\bullet$ J'appelle relation binaire tout ensemble dont tous les éléments sont des couples (donc pas sous la forme de triplets, ce qui est il me semble la deuxième façon d'aborder les relations binaires)
$\bullet$ Je définis donc la notion de relation binaire sur un ensemble $E$ (partie de $E^{2}$ donc), je définis les qualificatifs de "réflexivité sur $E$", de "symétrie" et de "transitivité", puis naturellement celui de "relation d'équivalence sur $E$. Je montre que ces 4 qualificatifs donnent lieu à des assertions stables par intersection, et donc comme $E^{2}$ vérifie aussi ces 4 qualificatifs, je peux considérer l'engendré par une relation binaire $\mathcal{R}$ sur $E$ pour chacun de ces 4 qualificatifs.

$\bullet$ Ainsi, étant donné $E$ un ensemble et $\mathcal{R}$ une relation binaire sur $E$, j'appelle clôture réflexive sur $E$ de $\mathcal{R}$, clôture symétrique de $\mathcal{R}$, clôture transitive de $\mathcal{R}$ et relation binaire sur $E$ engendrée par $\mathcal{R}$ ces engendrés, notés respectivement $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{ref}_{E}}$, $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{sym}}$,$\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}$ et $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{equi}_{E}}$.

J'en viens donc à mon problème : semblerait-il les trois premières clôtures "commutent", dans le sens où par exemple prendre la clôture symétrique puis la clôture transitive donne la même relation si l'on prend d'abord la clôture transitive puis la clôture symétrique, et pareil avec la réflexivité sur $E$. Du coup, l'ordre dans lequel on prend ces trois-là n'importe pas, et il s'avère que si on les prend tous les trois, on obtient la relation d'équivalence sur $E$ engendrée, donc un super résultat en somme, que j'essaie de démontrer.

J'ai donc décider de montrer les trois égalités suivantes pour commencer, à savoir $\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{ref}_{E}}\big\rangle_{\text{sym}}=\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{sym}}\big\rangle_{\text{ref}_{E}}$, ainsi que $\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{ref}_{E}}\big\rangle_{\text{tra}}=\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}\big\rangle_{\text{ref}_{E}}$ et enfin $\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{sym}}\big\rangle_{\text{tra}}=\big\langle\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}\big\rangle_{\text{sym}}$.

Ne sachant pas trop comment faire, je me suis dit qu'en jouant sur la minimalité ça serait possible, d'où l'idée de montrer le petit lemme suivant :

1. Si $\mathcal{R}$ est réflexive sur $E$, alors $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{sym}}$ et $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}$ sont aussi réflexives sur $E$.
2. Si $\mathcal{R}$ est symétrique, alors $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{ref}_{E}}$ et $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}$ sont aussi symétriques.
3. Si $\mathcal{R}$ est transitive, alors $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{ref}_{E}}$ et $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{sym}}$ sont aussi transitives.

Je n'ai pas eu de mal à démontrer le point 1, mais je bloque pour le point 2, notamment en voulant montrer que $\langle\mathcal{R}\rangle_{\text{tra}}$ est aussi symétrique. On m'a conseillé d'utiliser une caractérisation de la clôture transitive mais malheureusement celle-ci nécessite d'avoir au préalable développé les entiers naturels (il s'agit de l'union de toutes les itérations de $\mathcal{R}$ en parcourant $\mathbb{N}$ il me semble), ce que je n'ai pas encore fait et donc ne peut pas utiliser la notion d'entiers naturels (et encore moins $\mathbb{N}$). D'où ma question : auriez-vous une idée de comment faire sans ?

Dans le pire des cas je me résoudrais à attendre d'avoir développé les entiers avant d'en parler, mais j'aimerais si possible ne pas avoir à le faire, donc si jamais il y a une astuce je suis friand.

Je vous remercie par avance !