Det(w) positif ou nul

Pour l'indication, il suffit de considérer le cas d'une matrice complexe triangulaire, donc au fond diagonale, et finalement le cas de la dimension $1$ complexe suffit. Autrement dit, il suffit de comprendre la matrice réelle d'une application de $\C$ dans $\C$ de la forme $z\mapsto wz$, pour $w$ complexe donné.

Une démonstration possible :
on montre d'abord qu'il existe une base dans laquelle la matrice de $u$ s'écrit $\pmatrix{0&-I_m\cr I_m&0}$ (on a posé $n=2m$)

puisque $u$ et $w$ commutent on déduit que la matrice de $w$ dans cette base s'écrit $M=\pmatrix{A&-B\cr B&A}$

avec des opérations sur lignes et colonnes on obtient une matrice triangulaire par blocs qui donne $\det(M)=|\det(A+iB)|^2$

Paul : Mhm oui effectivement c'est une autre généralisation qui marche bien dans le cas d'extensions galoisiennes de corps, mais pas vraiment dans d'autres contextes... Merci quand même !

Paul : oui bien sûr, je m'imaginais juste une généralisation dans une autre direction, où il est probable que la galoisiannité joue un rôle. Mais bon, comme je n'ai rien de précis à dire, je vais m'arrêter là ;-)

J'ai corrigé suivant les indications de maxitimax et ai mis ma version fautive en pièce jointe. Ces changements expliquent les numéros de paragraphe disparus.

Merci à tous!

Mes dyscalculie presbytie + probable petites coquilles me gênent un peu, je vais reformuler tout pour les vieux qui voient mal les petits caractères et même les étudiants un peu timides qui passeront plus tard en présentation aérée. Ne pas hésiter (pour les béotiens) à demander précision sur les mots en gras.

1/ Soient $A,B$ deux corps avec $A$ sous-corps de $B$.

2/ On note que NATURELLEMENT $B$ est un espace vectoriel sur $A$. On suppose sa dimension finie.

3/ Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $B$.

4/ On note que $E$ est aussi un espace vectoriel de dimension finie sur $A$, mais je vais le noter $F$.

5/ Je vais maintenant passer à une AFFIRMATION qui semble fausse, mais vraie dans une grosse partie des contextes.

6/ Soit $f$ une application $B$-linéaire $E\to E$, autrement dit $f\in L_B(E,E)$.

7/ On note que $f$ est aussi une application linéaire de $F\to F$, autrement dit $f\in L_A(F,F)$.

8/ Les corps et les dimensions étant différents, $f$ a deux déterminants.

8.1/ Le déterminant de $f$ vue comme élément de $L_B(E,E)$ sera noté $D_1$

8.2/ Le déterminant de $f$ vue comme élément de $L_A(F,F)$ sera noté $D_2$

10/ On note que $D_1$ est une APPLICATION LINEAIRE DE $B\to B$. Elle a donc un déterminant, élément de $A$ que je note $Y$.
edit fait: j'avais écrit $A$ au lieu de $B$, (merci max)

11/ Et bien le théorème que Paul signale est qu'on a toujours $D_2 = Y$.

14/ Je n'ai pas fait l'exercice de voir pourquoi comme cas particulier, on obtient la résolution de l'exercice du 1er post, par contre :

15/ J'ai personnellement gagné beaucoup avec ce fil. Voici (c'est un peu HS) ce que j'ai gagné :

15.1/ $\C$ est un espace vectoriel sur $\R$
15.2/ Un nombre complexe (sans même avoir besoin de se représenter ce que c'est) est une AL de $\R$ dans $\R$.

15.3/ Il a donc un déterminant

15.4/ Et en ce jour notable pour moi, ledit déterminant, indépendant de toute base de $\C$ sur $\R$, FONDE LA CANONICITE de la notion de module d'un nombre complexe.

15.5/ Or le paradigme quantique en a besoin, et tel qu'il était connu (par moi) le module apparaissait comme "un caprice de matheux qui cherchaient des isomorphismes de corps"

Christophe : en choisissant des notations bizarres, enfin, inexplicites, tu arrives à des erreurs. Tu as écrit en 11/ :

$\det_A(\det_A(f))\det_B(f) = \det_A(f)$

(en supposant que tout est inversible, bon, sinon tu as ècrit quelque chose de légèrement différent)

C'est pour ça que ça entraîne ton 12/ qui est effectivement bizarre : l'énoncé de Paul est valable sans restriction sur $f$, et c'est $\det_A(f) = \det_A(\det_B(f))$.

Si tu veux écrire en termes de $D_i$'s :$D_1 : B\to B$ est linéaire, donc a un déterminant sur $A$, ce déterminant je l'appelle $Z$; l'énoncé est que $D_2 =Z$

Tu.vois bien d'ailleurs que ton truc ne peut pas marcher puisque tu prends le déterminant de $D_2$ en tant qu'application linéaire sur $A$, alors que $D_2$ est déjà un.scalaire de $A$ !

Voilà, j'ai corrigé, merci encore. En espérant qu'il n'y a plus de faute.

Christophe : Muni de $i := u$, $\R^n$ devient un $\C$-espace vectoriel; et l'hypothèse sur $w$ nous dit qu'il est en fait $\C$-linéaire pour cette structure de $\C$-ev.

Christophe: en fait ton calcul 101, même si c'est (évidemment) la même chose que tu fais à la fin, peut être sauté/évité/deviné/... en formulant "être $A$-linéaire" comme "commute avec l'endomorphisme donné par $a\cdot -$".

Du coup, être $\C$-linéaire c'est commuter avec $x \in\R$ et avec $i$, sauf qu'ici $i= u$.
Je réitère que c'est le même calcul, mais je trouve ça plus clair que ce n'est pas un calcul supplémentaire : c'est précisément l'hypothèse. Le calcul important est que $i:=u$ définit bien une structure complexe.

Christophe : ce que je dis c'est que ton calcul prouve A, mais que A est évident quand on reformule ce que tu veux dire la linéarité. Autrement dit, cette reformulation (pour laquelle on fait le même calcul, c'est pour ça que je dis qu'on n'y gagne rien mathématiquement, seulement en clarté peut-être) fait que A est une hypothèse, et non pas la conséquence d'un calcul.

En gros dans ton théorème "tout théorème est cas particulier d'une évidence", ici tu prouves E à partir de E => E avec ton calcul :-D

De mon pc,

@max, je n'ai pas l'impression d'avoir compris ce que tu voulais dire. Je comprends, sans être sûr, que tu dis que j'ai "formulé $A$", mais que "$A$ disait déjà ça de manière non formulée" en gros.

Mais comme tu as posté, je trouve étonnant que ce soit pour dire ça :-S donc il y a peut-être un truc que je loupe.

en fait, je crois que c'est bien ce que je disais, tu es devenu trop fort :-D

La phrase $<<w$ est $\C$-linéaire$>>$ et la phrase $<<u\circ w=w\circ u>>$ sont différentes syntaxiquement parlant, et même si mon calcul n'était pas exhaustif, je pense que c'est un peu comme si tu voulais supprimer une gare, ç savoir soit on connait rien et il faut entièrement visiter en détail une bonne page de cours sur les $\R[ u ]$-modules, soit on connait tout et mon calcul apparait évident, et redondant.

Bon en gros, on va dire que j'ai ajouté une gare de campagne sur la ligne pour laisser souffler les lecteurs (dont moi-même, j'ai eu besoin d'écrire le truc). .

Je suis quasi-sûr que tu es "trop fort" au sens où tu sembles avoir certains réflexes (ce n'est pas la première fois que je le remarque) que tu n'imagines plus absents chez les autres. Tu n'es pas le seul, c'est un peu un point qu'on trouve chez les "morpheurs" qui à force d'être habitués aux "can" non nommés ont tendance à voir ces can comme des téléportations automatiques non couteuses (j'ai déjà assisté à des posts de NoName, ClaudeQ, GBZM, et donc toi que je ne comprenais pas et que le vis à vis ne comprenait pas que je ne comprenne pas)

Merci

Oula, je viens de regarder ta preuve, elle contient beaucoup de background. La reconstruire sans background sera donc un projet. Je vais ouvrir un "fil lent".

C'est encore plus alléchant avec la précision que tu viens de donner car il y a des connexions entre géométrie et physique en plus.

J'ai ouvert et préparé le fil à projet :

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,2282082,2282082#msg-2282082

@Max: merci, oui, je pense que j'avais à peu près compris ta position une fois lu ton dernier post. Mais j'ai l'impression que notre petit échange illustre "ce qui va sans dire, va mieux (ou au moins aussi bien) en le disant" qui est un proverbe célèbre (pas forcément vrai dans tous les cas d'ailleurs, je pense (si on inclut le hors maths).