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Polynôme minimal local

Bonjour,

je me pose des questions sur la notion de polynôme minimal local.

Soient $\K$ un corps, $E$ un $\K$-espace de dimension finie $n$ et $u\in\mathcal L(E)$ un endomorphisme de $E$.

On note $\mu_u$ le polynôme minimal de $u$ (l'unique générateur unitaire du noyau de $P\in\K[X]\mapsto P(u)\in\mathcal L(E)$) et pour
tout $x\in E$, $\mu_{u,x}$ le polynôme minimal local de $u$ en $x$ (c'est-à-dire l'unique générateur unitaire du noyau de $P\in\K[X]\mapsto P(u)(x)\in E$).

J'ai un peu de mal à voir "concrètement" ce qu'est un polynôme minimal local. J'ai consulté plusieurs ouvrages de niveau licence mais cette partie n'est pas détaillée, mis à part cette définition.
(Je ne suis pas étudiant, j'essaye de comprendre après plusieurs années certaines notions qui m'ont échappées, et à vrai dire, je n'ai jamais rencontré celle-ci, le polynôme minimal servant principalement en algèbre linéaire dans le cadre de la réduction d'un endomorphisme).

Je n'avais jamais été confronté à cet objet. Est-ce qu'il se calcule (et dans ce cas, on peut faire apparaître un polynôme ?) ou est-ce un objet théorique ?
Si on prend par exemple une symétrie vectorielle, le polynôme minimal est $(X-1)(X+1)$.
Je ne vois pas comment obtenir un polynôme minimal local. Comment procéder ?

Merci.

Réponses

  • Il y a une belle inclusion entre idéaux et donc ton polynôme local divise le polynôme minimal.
    Étant donnés les facteurs de ton exemple on a donc tous les polynômes annulateurs en tous les points facilement.
    Je crois que ça sert pour arriver à la réduction de Jordan mais tu auras vite une réponse ici.
  • Je n'ai jamais eu affaire à un polynôme minimal local... mais comme le dit RLC il divise le polynôme minimal donc dans l'exemple que tu cites, si $(X-1)(X+1)$ est le polynôme minimal alors le polynôme minimal local peut être soit $X-1$ soit $X+1$ (soit $(X-1)(X+1)$) suivant le vecteur $x$ choisit.

    Si $(e_1,e_2)$ est la base canonique de $\R^2$, et qu'on considère une symétrie vectorielle par rapport $e_2$ et parallèle à $e_1$, on obtiendrait $\mu_{u,x}=X+1$ si $x=e_1$ et $\mu_{u,x}=X-1$ si $x=e_2$.


    Edit : hum ajout en rouge suite au post de Math Coss ci-dessous.
  • Je poursuis l'exemple de raoul.S, avec la matrice $\bigl(\begin{smallmatrix}{-}1&0\\0&1\end{smallmatrix}\bigr)$. Pour $x=e_1+e_2$, on a $\mu_{u,x}=X^2-1$. C'est plus généralement le cas pour tout $x=ae_1+be_2$ lorsque $ab\ne0$.

    On peut montrer qu'il existe toujours un vecteur $x$ tel que $\mu_{u,x}=\mu_u$. Pour un tel vecteur, on peut montrer qu'il existe un supplémentaire de l'espace engendré par $(x,u(x),u^2(x),\dots)$ (où $\deg\mu_{u,x}$ vecteurs suffisent à engendrer) qui est stable par $u$. On déduit de ce fait la décomposition de Frobenius.
  • Bonsoir , plus généralement quelque soit u dans L(E) tu peux montrer que le polynôme minimal local de u en x divise le polynôme minimal de u et ce quelque soit x dans K^n .

    Lorsque de plus u est tel que son polynôme caractéristique est égal à son polynôme minimal tu peux montrer qu'il existe x tel que le polynôme minimal local de u en x est égal au polynôme minimal .On en déduit un caractérisation de ces tels u .
  • Merci beaucoup pour vos contributions !
    J'arrive maintenant à mieux "voir" ce qu'est cet objet, qui ne voulait pas se dévoiler à moi.
  • Pour une application, il me semble justement qu'on peut démontrer le théorème de Cayley-Hamilton à l'aide du polynôme minimal local (probablement dans l'esprit d'une décomposition de Frobenius), en prouvant que $\forall x\in E, \chi _{u}(u)(x)=0_{E}$:
    $(i)$ quel que soit le vecteur $x \in E$, l'espace vectoriel $F_{x}=Vect(\{u^{k}(x)\}_{k \in \mathbb{N}})$ admet une base $\beta_{x}$ de la forme $(x, u(x), ..., u^{r}(x))$
    $(ii)$ on note $u_{x}$ la restriction de $u$ sur ce $F_{x}$ (qui est stable par $u$), et on dispose naturellement des polynômes minimal $\Pi$ et minimal local $\Pi_{x}$ ainsi que des polynômes caractéristique $\chi _{u}$ et caractéristique $\chi _{u_{x}}$.
    D'après le premier point, la matrice de l'endomorphisme induit dans $\beta_{x}$ est une matrice compagnon: son polynôme caractéristique et son polynôme minimal se confondent: $\chi_{u_{x}}=\Pi_{u_{x}}=\Pi_{x}$. De là, on peut écrire $\chi _{u}(u)(x)=\chi_{u}(u_{x})(x)=Q\chi_{u_{x}}(u_{x})(x)=Q\Pi_{x}(u_{x})(x)=0$.

    Je ne sais pas si c'est la démonstration classique de ce résultat, ou si cela t'apporte quelque chose.
  • C'est la preuve classique en prepa en tous cas, sans le vocabulaire.
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