Séries de Fourier
dans Analyse
Bonjour à tous,
Soit $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{C} $ la fonction définie par, $$ f(t) = (a_5 e^{ - 2 \pi i t } + a_4 e^{ 2 \pi i t } ) (a_3 e^{ - 2 \pi i t } + a_2 e^{ 2 \pi i t } ) ( a_1 e^{ - 2 \pi i t } + a_0 e^{ 2 \pi i t } ) ,
$$ où, $ a_0 , \dots , a_5 \in \mathbb{R} .$
La fonction $ f $ est périodique, de période $ 1 $.
Comment calculer la série de Fourier de $ f $ ?
Merci d'avance.
Soit $ f \ : \ \mathbb{R} \to \mathbb{C} $ la fonction définie par, $$ f(t) = (a_5 e^{ - 2 \pi i t } + a_4 e^{ 2 \pi i t } ) (a_3 e^{ - 2 \pi i t } + a_2 e^{ 2 \pi i t } ) ( a_1 e^{ - 2 \pi i t } + a_0 e^{ 2 \pi i t } ) ,
$$ où, $ a_0 , \dots , a_5 \in \mathbb{R} .$
La fonction $ f $ est périodique, de période $ 1 $.
Comment calculer la série de Fourier de $ f $ ?
Merci d'avance.
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Réponses
Hâte de voir la preuve de RH aux enchères.
Je fais une petite révision des séries de Fourier pour m'attaquer aux EDP. :-)
Tu devrais commencer par apprendre ce que sont les séries trigonométriques, puis repérer le lien avec les séries de Fourier. Donc ne pas venir poser des questions avant d'avoir fait ton propre travail de réflexion !
Tu aurais vu tout seul que la série de Fourier que tu demandes s'obtient en une ligne par un bête développement. A moins que tu n'aies pas le niveau de terminale de lycée ...
C'est une blague ?
Si je te donne $f(x)=(x^2+1)(x-1)$. Peux-tu m'expliquer comment tu fais pour développer $f$ en série entière ?
Oui @bd2017, $ f $ est un polynôme trigonométrique, et il suffit de développer $ f $ pour obtenir sa série de Fourier.
Merci @bd2017. :-)
Edit, au temps pour moi les termes de degré supérieur ou égal à 4 seront nuls.
Mais peut-être ne parle-t-on pas de la même fonction.
Cordialement.
Si on développe, la fonction f est définie par $f(x)=1+x-x^2+x^3.$ Quel est le développement en série entière de $f.$ Si il n'y a a pas de DSE pourquoi?
Autre exercice: soit $g$ définie par $ g(t)=\cos(t).$ Déterminer le développement en série de Fourier de g sur l'intervalle $[-\pi,\pi]?$ A faire en moins d'une demi-heure. :-)
NB: Je considère que la fonction considérée est définie sur un ouvert de $\mathbb{C}$.
Le développement en série entière de $f$ au voisinage de $0$ est $\displaystyle 1+z-z^2+z^3+\sum_{k=4}^{\infty} 0\times x^k$. Le rayon de convergence de cette série est infini.
Pourquoi dans une série de Fourier le premier terme est, suivant les ouvrages, a0 ou a0/2 ?
Merci pour votre réponse
https://www.math.u-bordeaux.fr/~fjouve001/FourierNotes.pdf
Dans l’autre cas on choisit de définir séparément $a_0$ des autres $a_n$ et ça permet d’utiliser un terme général pour la somme.
Si moi-même je ne m’emmêle pas les pinceaux, c’est ça le tout petit noeud du problème.
Aucune des deux n'a plus d'intérêt que l'autre, ce qui explique l'existence des deux. Tu en apprends une, puis tu te débrouilles (quitte à interroger l'examinateur qui te demande "combien vaut $a_0$ ?").
Cordialement.
Cordialement.
Tout est histoire de notation.
Pour comprendre, essayer de voir tout ce que cela implique dans l’écriture des théorèmes et de leurs preuves.
Ça va sûrement permettre de répondre à la question.
Merci à vous deux
Il existe par exemple de nombreuses définitions de la transformée de Fourier, qui sont toutes équivalentes d'un point de vue mathématique, mais qui vont rendre également certaines formules plus ou moins compliquées.
* avec $a_0$, le passage aux coefficients complexes est immédiat : $c_0 =a_0$, mais il faut une formule différente pour $a_0$.
* avec $\frac{a_0} 2$, il y a une seule formule pour les $a_i$, mais une formule différente pour $c_0$.
Bilan : Ce qu'on gagne d'un côté se perd de l'autre.
La convention "$a_0/2$" a certainement un intérêt historique, mais ne me paraît pas naturelle ni utile.