Intérieur et adhérence
Bonjour
Un exercice non étoilé cette fois ci. Mais j'ai du mal à appliquer le cours.
Soit $E=\mathcal C([0,1],\R)$. On note $F$ le sous-espace vectoriel $E$ formé par les fonctions s'annulant en $0$ et $1$. Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $F$ pour les normes un et infinie :
$\displaystyle N_{\infty}(f)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)|\quad $ et $\quad N_1 (f)=\displaystyle\int_{0}^1 |f(t)| dt$
Je cherche l'intérieur de $F$ pour la norme infinie.
On a $f$ appartient à l'intérieur de $F$ si et seulement si il existe $r>0$ tel que $B(f,r) \subset F$.
Mais après je ne trouve pas.
Un exercice non étoilé cette fois ci. Mais j'ai du mal à appliquer le cours.
Soit $E=\mathcal C([0,1],\R)$. On note $F$ le sous-espace vectoriel $E$ formé par les fonctions s'annulant en $0$ et $1$. Déterminer l'intérieur et l'adhérence de $F$ pour les normes un et infinie :
$\displaystyle N_{\infty}(f)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)|\quad $ et $\quad N_1 (f)=\displaystyle\int_{0}^1 |f(t)| dt$
Je cherche l'intérieur de $F$ pour la norme infinie.
On a $f$ appartient à l'intérieur de $F$ si et seulement si il existe $r>0$ tel que $B(f,r) \subset F$.
Mais après je ne trouve pas.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Si tu développe ta dernière ligne, ça donne :
Pour tout $g$ telle que $N(f-g) \leq r$, $g(0)=0$ et $g(1)=0$.
Pour la norme infinie tu supposes que l'intérieur est non vide et donc que il qu'existe $f$ et $r$ tels que blablabla, tu poses $g(x)=f(x)+r$ et ça te donne $N(f-g)=r$ (donc $g$ appartient à la boule) et $g(0)=g(1)=r \neq 0$ (donc $g$ appartient pas à ton ensemble).
Comme prévu on arrive à une absurdité, donc l'intérieur est vide pour la norme infinie.
Pour la norme 1 même supposition, même $g$, même absurdité.
Le problème est que je ne connais pas la réponse à l'avance, donc comment montrer que $Int(F)= \cdots$ alors que je ne connais pas la réponse ?
@Math Coss
J'applique la définition mais je ne vois pas comment le déterminer concrètement :-S
$X=(x,y,z)$ appartient à l'intérieur de $F$ s'il existe $r>0$ tel que pour tout $Y=(x',y',z') \in \R^3$ $\max( |x-x'|,|y-y'|,|z-z'|) <r \implies x=0=z$
@MathCoss
$F$, c'est l'ensemble des points $(0,y,0)$ , c'est la droite vectorielle $Vect(0,1,0)$
Je ne sais pas, je ne connais pas la forme des boules dans $\R^3$ :-S
Ca dépend de la norme en plus non ?
Et avec les espaces de fonctions, je ne vois rien graphiquement.
Pour la norme qu'il t'a proposée une boule c'est un cube.
La forme de la boule dépend effectivement de la norme, mais tu sais peut-être que en dimension finie les normes sont équivalentes, donc en topologie tu peux tout à fait t'imaginer une simple sphère remplie (qui correspond à la norme 2, celle qu'on utilise dans la vie de tous les jours).
Personne ne voit rien avec les espaces de fonctions, ni même ne serait-ce que avec $\R^n$, c'est simplement une analogie pour essayer de te donner l'intuition.
Alors avant de faire l'exo de Math Coss, que je te conseille vivement de traiter évidemment, il faut que tu te donnes ce sous-exercice : les trois boules unité dans $\R^2$. Tu verras qu'il suffit de l'écrire et que ça se fait assez facilement, à condition de réussir à ne pas paniquer. Traite-le ici en premier lieu, après tu pourras faire l'exo de Math Coss plus facilement.
Ainsi pour l'exemple de $R^3$ on essayer d'imaginer s'il existe une boule (de rayon non nul) de centre un point (0,y,0) de la droite et telle que cette boule soit incluse dans la droite.
Mais attention @Victor, pour les espaces de fonctions on ne peut pas dire que personne n'y voit rien.
En effet une fonction continue telle que $f(0)=f(1)=0$ ça se dessine. Et une fonction $g$ continue tel que
$||f-g||_\infty$ ça se dessine aussi. Dessiner une boule peut être pas mais une fonction g proche de f, oui.
Maintenant il faut mettre ça en place. Traiter d'abord le cas $E=\R^3$
Je l'ai déjà traité les boules unités dans $\R^2$ dans un brouillon, je sais faire. Je n'ai pas envie de reperdre 30 min à faire ça.
Par contre dans $\R^3$ je n'ai pas compris pourquoi c'est un cube.
Pour trouver l'intérieur je n'y arrive pas ni avec l'exemple de Math Coss ni avec celui de l'exercice. Je ne sais pas comment faire, la méthode n'est pas expliquée dans le livre.
Je ne vois pas le rapport entre $\R^n$ et l'espace des fonctions pour pouvoir deviner la réponse de l'intérieur de $F$.
Tu dis ne pas comprendre comment on peut répondre à la question parce que tu n'as pas la méthode, et ça c'est à mon avis audible une fois qu'on a essayé de répondre avec les définitions du cours et les théorèmes éventuels qu'on connait (ou leurs démos, pour certaines). Mais là, tu as écrit la définition formelle d'un point de l'intérieur, ... et puis tu n'es pas allé plus loin ! C'est pour ça que Math Cross, Homo Topi, etc ... te donnent des conseils pour concevoir d'autres exemples: ça permet de te donner des idées de stratégie, en plus de développer une intuition (même si la dimension infinie est un peu différente).
On essaye de te faire sentir, en dimension 3 parce que c'est plus facile à se représenter, qu'une boule de rayon non nulle ne peut pas être inclue dans un sous-espace vectoriel (autre que l'espace tout entier).
Tu sais que dans $R^2$ pour la norme infinie la boule unité est un carré, tu n'as qu'à te dire que c'est un cube dans $R^3$ par analogie.
L'énoncé de l'exercice est toujours le même : énoncé
Mais c'est un QCM, avec 3 réponses possibles :
- L'intérieur de F est F
- L'intérieur de F est l'ensemble vide
- Ni l'un ni l'autre.
Quelle est ta réponse ?
Et sinon, on peut revenir à des notions 'non mathématiques'. On a l'Amérique du Nord et l'Amérique du Sud. On a la frontière entre ces 2 pays/continents. Tiens, zut... je suis allé trop vite. On a la frontière de l'Amérique du Nord, qui est une ligne tordue. On a la frontière de l'Amérique du Sud, qui est aussi une ligne tordue. Et en fait, ces 2 frontières sont identiques.
Est-ce que par hasard, cette propriété serait vraie aussi en maths ? Comment la traduire en langage mathématique ?
Aucune idée, pour l'instant cet exercice est du chinois pour moi.
Comment je peux savoir si l'intérieur de $F$ sera vide, égal à $F$ ou autre ?
@Polka
Ok mais je ne vois pas comment faire avec ces infos, c'est trop théoriques, et je n'ai jamais vu ce genre de raisonnement.
$f \in Int(f)$ si et seulement si $\exists r>0 \ \ \forall g \in E \ \ N_{\infty}(f-g)=\sup_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)| <r$
Ici je bloque totalement.
Je respecte ton choix, je n'insiste pas.
Un exemple dans $\R^2$ montre ce qu'il se passe et par chance il se passe la même chose en dimension quelconque : si tu prends $F$ un sous-espace vectoriel de $\R^2$ autre que $0$ et $\R^2$ alors $F$ est de dimension 1, c'est une droite quoi.
À présent si on choisit un vecteur de $c\in F$ et qu'on considère une boule centrée en $c$ est-ce que selon toi on arrive à faire entrer la boule dans $F$ si on diminue le rayon (voir graphique ci-dessous si ce n'est pas clair...) ?
La réponse devrait être évidente. Essaie d'en déduire une démonstration dans le cas général avec une norme quelconque.
$Fr(A)=Fr(B)$ si et seulement si $Adh(A) \backslash Int(A) = Adh(B) \backslash Int(B)$
Non la boule ne va pas rentrer.
Mais comment on sait que dans l'espace des fonctions ça va se passer comme dans $\R^2$ ?
Il faut montrer que $Int(F)= \emptyset$.
Soit $f \in F$ et $r>0$. Il faut montrer que $B(f,r) \not\subset F$ soit $\boxed{g \in B(f,r) \ \ \text{ET} \ \ g \notin F}$
Or $B(f,r)=\{ g \in E \ | \ N_{\infty} (f-g) <r \}$. Il faut donc trouver un élément $g \in E$ tel que $N_{\infty} (f-g) <r $ et $g \notin F$.
Posons $g=f+\dfrac{r}{2}$ alors $N_{\infty} (f-g)= N_{\infty} (g-f)=N_{\infty} ( \dfrac{r}{2})=\dfrac{r}{2} <r$
Montrons que $g \notin F$. Comme $\forall x \in [0,1] \ g(x)=f(x)+\dfrac{r}{2}$ alors $g(0)=g(1)=\dfrac{r}{2} \ne 0$
Déterminons l'intérieur pour la norme 1 :
Montrons que $N_1$ est dominée par $N_{\infty}$
On a $N_1(f)=\displaystyle\int_{0}^1 |f| \leq \displaystyle\int_{a}^b N_{\infty} (f) =N_{\infty} (f) $
On a montré $\boxed{N_1(f) \leq N_{\infty} (f)}$
Mais je ne trouve pas de résultat dans le cours qui permet de déterminer l'intérieur de $F$ pour la norme $1$ sachant qu'elle est dominée par la norme infinie :-S
Tu viens de montrer que pour la norme $N_{\infty}$ ton fermé $F$ est d'intérieur vide (bon je ne sais pas si tu t'es "inspiré" par Victor2N ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,2280914,2280928#msg-2280928) quoi qu'il en soit est-ce que tu as utilisés les propriétés propres de la norme infinie dans ta preuve ? Ou est-ce que la preuve que tu viens de rédiger s'applique en fait pour une norme quelconque ?
Dans $\R^n$, $N(r/2)$ n'est pas définie car $r/2$ n'est pas un vecteur de $\R^n$.
Il n'y a pas un résultat avec les normes dominées ?
Et en fait, ce que te suggères raoul.S, c'est que ce raisonnement est valable indépendamment de la norme considérée ! Pourquoi ? (un dessin, par exemple pour $F=\mathbb{R}^{2}$ dans $E=\mathbb{R}^{3}$ aide énormément, c'est ce que t'ont proposé plusieurs membres du forum dans la discussion).
Oui je vois dans ma tête la boule sortir du plan.
Mais j'ai du mal à comprendre théoriquement pourquoi le raisonnement fonctionne dans $\R^n$ avec des vecteurs au lieu de fonctions.
Il y a un problème dans ton exemple, on ne peut pas additionner un vecteur de $\R^2$ avec un vecteur de $\R^3$. $\R^2$ n'est pas inclus dans $\R^3$... Je rectifie.
Par exemple, $E=\R^3$ et le plan vectoriel $F=\R^2 \times \{0 \}$
Soit $u=(x,y,0) \in F$ et $r>0$. Si on pose $v=(x-\dfrac{r}{2},y-\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{3})$ on a $u-v=(\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{2},\dfrac{r}{3})$ et $N_{\infty}(u-v)=\dfrac{r}{3} <r$ mais $v \notin F$ car $\dfrac{r}{3} \ne 0$
J'ai regardé juste une partie du corrigé après un jour de recherche, je ne comprends pas le passage :
$N_1$ est dominée par $N_{\infty}$ donc si l'intérieur de $F$ est vide au sens de $N_{\infty}$, il est également vide au sens de $N_1$.
J'ai cherché dans le cours, je ne vois pas ce résultat. J'ai juste 2 résultats :
Si $N_1$ est dominée par $N_2$ alors :
1) Si une partie est bornée pour $N_2$ elle l'est aussi pour $N_1$.
2) Si une suite converge vers $l$ pour $N_2$, alors elle converge vers $l$ pour $N_1$.
P.S D'autre part, le corrigé utilise la domination mais c'est un peu ballot tout de même car le résultat est vrai quelque soit la norme.
Le résultat "important" est le suivant : dans un espace vectoriel normé, tout sous-espace vectoriel strict est d'intérieur vide. Ça correspond bien à notre intuition dans le cas de la dimension finie. Si tu prends un plan ou une droite dans $\R^3$, leur intérieur est naturellement vide, ils sont "plats" quoi.
Oui ça se voit sur des exemples dans $\R^2$ et $\R^3$.
Dommage que ce résultat n'est pas énoncé dans le cours.
Par contre si on a $N_1 \leq N_{\infty}$ j'essaie de démontrer que si la frontière de $F$ est vide pour $N_{\infty}$ alors elle est vide pour $N_1$.
Je n'y arrive pas.
Un truc que tu peux montrer (bon, ça se voit rapidement) c'est que si $N$ et $N'$ sont deux normes sur un espace $V$, telles que $N \leqslant N'$, alors si je note $B$ et $B'$ les boules respectives, alors $B'(x,r) \subset B(x,r)$. Du coup, par rapport à ce que tu veux montrer, tu as la mauvaise inégalité : c'est pour ça qu'il faut un autre argument.
Bonjour,
Juste pour info et dans un souci "culturel" pour OS, il y a une raison plus "fondamentale", plus large, qui explique q'un ssev strict est d'intérieur vide. Donc adieu l'ev normé, et même la métrique (adios les boules et consorts...).
(1) Si (G;+) est un groupe topologique, alors tout sous-groupe d'intérieur non vide est un ouvert-fermé.
On en déduit que :
(2) Si (G;+) est un groupe topologique connexe, alors tout sous-groupe strict est d'intérieur vide.
Le cheminement de la démonstration de (1) est plutôt simple, s'appuyant sur le définition de groupe topologique (les applications x->-x et (x,y)->x+y sont continues), l'utilisation des classes et le "transport" des voisinages, grâce auxquels on montre d'une part que tout sous-groupe ouvert est aussi fermé, et d'autre part que tout sous-groupe d'intérieur non vide est ouvert.
Si E est un ev normé, alors (E;+) est un groupe topologique, banalement connexe puisque convexe, et tout sous-espace strict est un sous-groupe strict, donc (2) s'applique.
Mais sinon, si on souhaite se restreindre au cadre du post et ne pas faire de topologie, on peut se contenter de cette autre démo, qui contient bien peu de manipulations :
E est un ev normé ; soit F un sous-ev de E.
On suppose que F est d'intérieur non vide.
Ainsi F contient une boule ouverte B.
Cela implique que F contient une boule ouverte B0 centrée en 0 (là on retrouve le "transport"..).
Or toute boule ouverte centrée en 0 est génératrice de E tout entier (c'est "évident").
Donc a fortiori, F génère E.
Donc F=E.
.
De façon plus générale (si je dis une bêtise, corrigez-moi), c'est l'équivalence des normes (c'est à dire une minoration et une majoration) qui permet de dire dans un evn qu'on dispose des mêmes ouverts, et donc des mêmes fermés.
Ici, on a $\mathcal{N}_{1}\leq \mathcal{N}_{\infty}$, mais peut-on avoir $m\mathcal{N}_{\infty}\leq \mathcal{N}_{1}$ (pour un $m>0$) ?
EDIT: écoute d'abord les autres, si on est trop nombreux à te poser des questions tu vas abandonner.
PS: Zig, intéressante intervention, c'est clairement d'un autre niveau. Peut-être un peu dommage que tu vendes la démo dans un evn pour OShine, mais bon.
Je pense que si le corrigé n'utilise pas le résultat que tu énonces, c'est qu'il est hors programme en MP.
@Homo Topi
Je pense avoir trouvé une démonstration.
On a $N_1 \leq N_{\infty}$ . Montrons qui si l'intérieur de $F$ est vide pour $N_{\infty}$ alors il est vide pour $N_1$.
Raisonnons par contraposée. Supposons que l'intérieur de $F$ soit non vide pour $N_1$.
Alors il existe $x \in Int(F)$ au sens de $N_1$, il existe donc $r>0$ tel que $B(x,r) \subset F$.
Il existe $r>0$ tel que $\forall y \in E \ \ N_{\infty} (x-y) <r \implies y \in F$
Mais $\forall y \in E \ \ N_1(x-y) \leq N_{\infty}(x-y) <r$ ce qui permet de conclure :
Il existe $r>0$ tel que $\forall y \in E \ \ N_{1} (x-y) <r \implies y \in F$
Donc $B(x,r) \subset F$ au sens de $N_1$ et $F$ est d'intérieur non vide au sens de $N_1$.
Ce n'est pas honnête intellectuellement de dire ça, OShine, et tu le sais.
Arrête avec tes éternelles limites du programme étanches. Ça ne t'apportera rien. Tu penses qu'un prof de sup va dire "ah non non on résout pas ce exercice il va vous apprendre un résultat pas explicitement au programme" ?
Si le livre utilise des résultats qui ne sont pas dans le cours, ça fait perdre énormément de temps à l'étudiant.
Regarde l'exemple de mon problème avec les normes dominées. Ils utilisent un résultat non présent dans le cours, et ça me bloque depuis hier.
@Zig
Toute boule ouverte centrée en $O$ génère $E$ ? Ce n'est pas évident pour moi.
Pour t'orienter sur : "Toute boule ouverte centrée en $0$ génère $E$ ":
Soit $r>0$ le rayon de la boule.
Pour $x\neq0$, que peut-on dire de $y=\frac{r}{2}\frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }$ ?
.
$||y||= r/2$ donc $y \in B(0,r)$ mais je ne vois pas comment en déduire que $B(0,r)$ génère $E$.
Soit $r>0$ et $B_{\infty} (x,r)$.
Soit $y \in B_{\infty} (x,r)$. Alors $N_{\infty}(y-x) <r$. Mais $N_1 \leq N_{\infty}$ donc : $N_{1}(y-x) <r$
Ainsi, $y \in B_1(x,r)$
Le reste n'est qu'une évidence, avec un dessin. Si l'intérieur est vide pour $N_{\infty}$, on ne pourra pas inclure de boule encore plus grande au sens de l'inclusion.
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Il s'agit de montrer que tout vecteur est combinaison linéaire d'éléments de $B(0,r)$.
Or pour tout $x$ on a $x=\frac{2\left\Vert x\right\Vert }{r}y$ avec $y\in B\left(0,r\right)$ ...
Pour déterminer l'adhérence de $F$, comment avoir l'intuition du résultat ?
Si F n'est pas fermé, se souvenir que son adhérence est aussi un sous espace vectoriel...
Comme ceci.
Attention d'abord tu parles de $E=\R^3$ ou de $E=C([0,1],\R).?$
1. Commences par $E=\R^3$ et $F=vect(0,1,0).$ F est donc une droite de $\R^3.$ Toutes les normes sont équivalentes (tu n'as pas à te soucier de la norme).
Pose toi la question F est-il fermé (du point de vue d'un dessin) ? Ou alors imagine une suite de points de F qui converge. La limite peut-elle être en dehors de F?
Tu peux aussi regarder le complémentaire de F....Quel-est-il? Quel est la frontière du complémentaire...
Une fois que tu as une idée tu peux attaquer la démo.
2. Pour $E=C([0,1],\R)$ on verra après.
D'ailleurs, pour recouper un peu avec ce sur quoi travaille OShine, et pour alimenter la curiosité de potentiels lecteurs silencieux qui sont entre la Licence et le Master, la topologie des espaces vectoriels normés finit par revenir dans l'étude des représentations de groupes non finis. Là où pour les groupes finis, les représentations (complexes, j'entends) "les plus intéressantes" sont de dimension finie, quand on sort de ce cadre, on perd rapidement ce luxe-là. Les espaces qui deviennent des "bons" espaces de représentation sont les espaces de Hilbert, dont la topologie est pour ainsi dire "la plus géométrique possible". Un espace de Hilbert, c'est un espace vectoriel dont la topologie découle d'un produit scalaire (le produit scalaire définit une norme, qui définit une distance, qui définit une topologie) et qui est complet pour la distance associée. Typiquement, c'est un espace de fonctions dans lequel on peut faire de la géométrie, c'est rigolo. Renseignez-vous sur l'espace $L^2$ des fonctions de carré intégrable, il est sympa (et passez le bonjour à Fourier en passant).
Je ne sais répondre à aucune question.
Je ne vois pas comment on sait si $F=Vect(0,1,0)$ est fermé :-S
Tu regardes son complémentaire et un point y dans le complémentaire (donc pas sur la droite F). C'est évident qu'on peut dessiner une boule de centre y qui ne rencontre pas F (pourvu que le rayon soit assez petit) . Autrement dit le complémentaire de F est un ouvert et donc F est un fermé.
Ce n'est pas une démonstration mais ça nous guide pour une démo.
Démontrons que F est un fermé. Il y a surement plusieurs façons. Par exemple démontrer que le complémentaire est un ouvert.
Je prends un autre point de vue. Soit $(X_n)$ une suite de $F$ qui converge (inutile de préciser au sens de quel norme on est en dimension finie) vers $X$ dans $E$.
$X_n \in F$ alors $X_n$ est de la forme $(0,x_n,0).$ Posons X=(a,b,c) la limite.
Par définition de la limite
$||X_n -X ||$ tend vers 0 (quelque soit la norme). Maintenant je te laisse choisir la norme pour en déduire quelque chose sur X et conclure.