Salut.
En tombant sur un divertissement Facebook, j'ai tenté d'avoir un point de vue différant de
Faulhaber
$$\sum_{k=1}^nk^2=\sum_{k=0}^{n-1}(k+1)n-\frac{k(k+1)}{2}$$
J'ai trouvé ça amusant.
Faudrait voir pour d'autres puissances.
ÉDIT : $n-1$ non pas $n$.
Réponses
Par exemple, pour calculer (ie trouver $Q$ tel que) :
$$
Q(n) = \sum_{i\in n} \ P(n)
$$ je suis "contre" (idéologiquement) se "contenter" des cas particulier $P:=id^k$, puisque la preuve est triviale de
$$
\forall P,\ \exists Q,\ \forall n,\ [Q(n) = \sum_{i\in n} \ P(n)]
$$ alors qu'il n'en existe pas de "faciles" de
$$
\forall k,\ \exists Q,\ \forall n,\ [Q(n) = \sum_{i\in n} \ n^k].
$$ Bon pardon, c'était légèrement HS, mais je pense que ça peut aider des passants, surtout que vue la taille prise par le titre dans la liste des fils, il est difficile de ne pas cliquer dessus :-D (sur mon PC ça occupe la moitié de la liste, c'est rigolo).
$$\sum_{k=1}^nk^2=\sum_{k=1}^nkn-\frac{k(k-1)}{2}.
$$ Désolé pour ceux qui sont encore en très basse résolution sur leurs ordinateurs.
En prouvant ça de façon "naturelle" on va dire, on [a] un algorithme qui apparaît pour calculer $Q$ en fonction de $P$.
J’espère que pour les puissances de 4, 5, etc. ça ne se complique pas trop.
Pour le moment je n'ai pas fait appel aux nombres de Bernoulli.